2013-湖南卷理-11 填-相交弦定理

本题导读

本题考查圆，以及相交弦定理。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(理)） 如图2，在半径为 $\sqrt{7}$ 的 $\odot O$ 中，弦 $AB,CD$ 相交于点 $P$，$PA=PB=2$，$PD=1$，则圆心 $O$ 到弦 $CD$ 的距离为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用相交弦定理求 $PC$： 在圆中，相交弦满足 $PA\cdot PB=PC\cdot PD$。已知 $PA,PB,PD$，可求得 $PC$ 的长。
2. 确定弦 $CD$ 总长： $CD=PC+PD$。
3. 应用垂径定理与勾股定理：
   • 作 $OF\perp CD$ 于 $F$，则 $F$ 是 $CD$ 的中点。
   • 在 $Rt△OFD$（或 $Rt△OFC$）中，$OD$ 为半径 $R$，$FD=\frac{1}{2}CD$。
   • 利用勾股定理 $OF=\sqrt{O{D}^2-F{D}^2}$ 求出弦心距。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用相交弦定理求线段长度 根据相交弦定理： $PA\cdot PB=PC\cdot PD$ 代入已知数据 $PA=2,PB=2,PD=1$： $2\times 2=PC\times 1⟹PC=4$

第二步：计算弦 $CD$ 的长度 $CD=PC+PD=4+1=5$

第三步：利用垂径定理寻找直角三角形 过圆心 $O$ 作 $OF\perp CD$ 于点 $F$。 根据垂径定理，$F$ 平分弦 $CD$，所以： $FD=\frac{1}{2}CD=\frac{5}{2}$

第四步：勾股定理求弦心距 $OF$ 连接 $OD$。在 $Rt△OFD$ 中，已知半径 $OD=\sqrt{7}$，直角边 $FD=\frac{5}{2}$： $O{F}^2=O{D}^2-F{D}^2=(\sqrt{7}{)}^2-{\left(\frac{5}{2}\right)}^2$ $O{F}^2=7-\frac{25}{4}=\frac{28-25}{4}=\frac{3}{4}$ 所以： $OF=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意计算 $CD$ 长度时是将相交弦定理求出的 $PC$ 与已知的 $PD$ 相加，不要混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：类似地，若已知圆心到弦 $AB$ 的距离，也可反求半径或 $P$ 点位置。

方法推广：圆幂定理（包含相交弦、割线、切割线定理）是处理圆内比例关系的通用工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2015-天津卷文-06 单-相交弦定理
• 2025-新高考II卷-05 单-余弦定理
• 2015-福建卷文-14 填-正弦定理