2015-天津卷文-06 单-相交弦定理

本题导读

$CM\cdot MD=AM\cdot MB=8$ 定出三等分每段长 2，再由 $CN\cdot NE=AN\cdot NB=8$ 得 $NE=\frac{8}{3}$，选 A。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(文)） 如图，在圆 $O$ 中，$M,N$ 是弦 $AB$ 的三等分点，弦 $CD,CE$ 分别经过点 $M,N$，若 $CM=2$，$MD=4$，$CN=3$，则线段 $NE$ 的长为 ()

A. $\frac{8}{3}$　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. $\frac{10}{3}$　　　　　　　D. $\frac{5}{2}$

🔍【思路分析】

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$CM\cdot MD=AM\cdot MB=8$ 定出三等分每段长 2，再由 $CN\cdot NE=AN\cdot NB=8$ 得 $NE=\frac{8}{3}$，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

弦 $CD$ 与 $AB$ 交于 $M$，由相交弦定理：$CM\cdot MD=AM\cdot MB=2\times 4=8$。

$M,N$ 三等分 $AB$，设 $AM=MN=NB=t$，则 $AM\cdot MB=t\cdot 2t=2t^2=8$，得 $t=2$。

弦 $CE$ 与 $AB$ 交于 $N$：$CN\cdot NE=AN\cdot NB=2t\cdot t=8$，即 $3NE=8$，故 $NE=\frac{8}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相交弦定理

核心方法：两弦相交，交点分两弦的乘积相等；先用第一组乘积定出等分段长

避坑指南：三等分给出 $AM=MN=NB$，代入相交弦定理时 $AM\cdot MB=t\cdot 2t$（$MB=2t$），写成 $t^2=8$ 是常见错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：天津卷自 2012 年起连续三年在理第 6 题位置考查圆幂定理类平面几何小题，本题为其文科对应版。

结论推广：推广到切割线定理：$P{T}^2=PA\cdot PB$，与相交弦定理可统一为”圆幂定理”。

方法推广：圆中求线段长，优先寻找相交弦、切割线结构，把未知线段放进乘积等式，避免解三角形硬算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练(Links)

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