2013-湖南卷理-15 填-数列递推关系

本题导读

本题考查数列的通项与求和，以及数列递推关系。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(理)） 设 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$S_n=(-1{)}^n{a}_n-\frac{1}{2^n}$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.则：

(1)$a_3=$ $\underline{}$；

(2)$S_1+S_2+\cdots +S_{100}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求 $a_3$）：
   • 利用 $S_1=a_1$，由 $S_1=-a_1-\frac{1}{2}$ 求出 $a_1$。
   • 结合 $a_n=S_n-S_{n-1}$，逐步代入 $n=2,3$ 建立关于 $a_2,a_3$ 的方程组求解。
2. 第二问（高阶求和）：
   • 推导通项关系：利用 $S_n-S_{n-1}=a_n$。 $a_n=[(-1{)}^n{a}_n-\frac{1}{2^n}]-[(-1{)}^{n-1}{a}_{n-1}-\frac{1}{2^{n-1}}]$。
   • 分类讨论： 当 $n$ 为偶数时，$a_n=a_n+a_{n-1}+\frac{1}{2^n}⟹a_{n-1}=-\frac{1}{2^n}$。 这说明奇数项具有等比数列特征。
   • 简化求和式：观察 $S_k$ 的结构，发现 $S_{2k-1}+S_{2k}$ 的抵消规律或直接计算 $S_{奇}$ 与 $S_{偶}$。
   • 计算：利用等比数列求和公式得出最终结果。

✅【答案】

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(1)$a_3=-\frac{1}{16}$；(2)$S_1+S_2+\cdots +S_{100}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2^{100}}-1\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 当 $n=1$ 时，$S_1=a_1=-a_1-\frac{1}{2}⟹2a_1=-\frac{1}{2}⟹a_1=-\frac{1}{4}$。 当 $n=2$ 时，$S_2=a_1+a_2=a_2-\frac{1}{4}$，此式恒成立，不能直接定出 $a_2$。 当 $n=3$ 时，$S_3=a_1+a_2+a_3=-a_3-\frac{1}{8}$，即 $-\frac{1}{4}+a_2+a_3=-a_3-\frac{1}{8}$，得 $a_2+2a_3=\frac{1}{8}$。 当 $n=4$ 时，$S_4=S_3+a_4=a_4-\frac{1}{16}$，得 $S_3=-\frac{1}{16}$。 把 $S_3=-\frac{1}{16}$ 代入 $S_3=-a_3-\frac{1}{8}$：$-\frac{1}{16}=-a_3-\frac{1}{8}$，故 $a_3=-\frac{1}{16}$。

（2）解： 由 $S_n=(-1{)}^n{a}_n-\frac{1}{2^n}$ 解得 $a_n=(-1{)}^n\left(S_n+\frac{1}{2^n}\right)$，代入 $S_n-S_{n-1}=a_n$： $S_n-S_{n-1}=(-1{)}^n\left(S_n+\frac{1}{2^n}\right)$ 当 $n=2k$（偶数）时：$S_{2k}-S_{2k-1}=S_{2k}+\frac{1}{4^k}$，故 $S_{2k-1}=-\frac{1}{4^k}$ 再取 $n=2k+1$（奇数）：$2S_{2k+1}=S_{2k}-\frac{1}{2^{2k+1}}$，与上式结合可得 $S_{2k}=0$ 于是 $S_1+S_2+\cdots +S_{100}={\sum }_{k=1}^{50}\left(S_{2k-1}+S_{2k}\right)={\sum }_{k=1}^{50}\left(-\frac{1}{4^k}+0\right)={\sum }_{k=1}^{50}\left(-\frac{1}{4^k}\right)$ 由等比数列求和公式： $S_1+S_2+\cdots +S_{100}=-\frac{\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{4^{50}}\right)}{1-\frac{1}{4}}=-\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{2^{100}}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2^{100}}-1\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：利用 $S_n$ 与 $a_n$ 的关系进行递推项的消元。 2. 技巧总结：“奇偶讨论法”。当递推公式中出现 $(-1{)}^n$ 时，通常意味着数列在奇数项和偶数项上具有不同的特征或存在相互抵消的规律。

核心方法：见详细解析

避坑指南：计算 $S_1+S_2+\dots$ 时不要盲目展开，先找相邻项 $S_n,S_{n-1}$ 的特征。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列的判定与求和公式。

结论推广：形如 $S_n=f(n)a_n+g(n)$ 的数列均可通过 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 转化为关于 $S_n$ 的一阶递推方程。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2015-湖南卷文-19 解-数列递推
• 2015-广东卷文-19 解-数列递推
• 2023-新高考I卷-20 解-数列