2023-新高考I卷-20 解-数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式与性质。核心在于方程组法、等差中项法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，且 $d>1$。令 $b_n=\frac{n^2+n}{a_n}$，记 $S_n,T_n$ 分别为数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和。

(1) 若 $3a_2=3a_1+a_3$，$S_3+T_3=21$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 若 $\{b_n\}$ 为等差数列，且 $S_{99}-T_{99}=99$，求 $d$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解通项（第1问）：将已知等式化为关于 $a_1$ 和 $d$ 的方程，得出 $a_1=d$。分别求出 $S_3$ 和 $T_3$ 的表达式，代入 $S_3+T_3=21$ 解一元二次方程，结合 $d>1$ 确定 $d$ 的值。
2. 利用性质简化（第2问）：

• $\{b_n\}$ 为等差数列，利用等差中项性质 $2b_2=b_1+b_3$ 建立关于 $a_1$ 和 $d$ 的齐次方程，解得 $a_1$ 与 $d$ 的关系（$a_1=d$ 或 $a_1=2d$）。
• 利用等差数列求和的对称性（奇数项求和公式 $S_{2k-1}=(2k-1)a_k$），将 $S_{99}-T_{99}=99$ 转化为 $a_{50}-b_{50}=1$。
• 解出 $a_{50}$ 的值，分类讨论求出 $d$。

✅【答案】

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(1) $a_n=3n$

(2) $d=\frac{51}{50}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求解 $\{a_n\}$ 的通项公式：

由 $\{a_n\}$ 为等差数列，则 $a_2=a_1+d,a_3=a_1+2d$。 代入 $3a_2=3a_1+a_3$ 得： $3(a_1+d)=3a_1+(a_1+2d)⟹3d=a_1+2d⟹a_1=d$。 由此得：$a_n=nd,b_n=\frac{n(n+1)}{nd}=\frac{n+1}{d}$。

计算前三项和： $S_3=d+2d+3d=6d$； $T_3=b_1+b_2+b_3=\frac{2}{d}+\frac{3}{d}+\frac{4}{d}=\frac{9}{d}$。 由 $S_3+T_3=21$ 得： $6d+\frac{9}{d}=21⟹2d^2-7d+3=0⟹(2d-1)(d-3)=0$。 解得 $d=3$ 或 $d=\frac{1}{2}$。

由于 $d>1$，故取 $d=3$。

所以 $a_n=3n$。

(2) 求解公差 $d$：

因为 $\{b_n\}$ 为等差数列，则 $2b_2=b_1+b_3$：

$\frac{2\times (2^2+2)}{a_2}=\frac{1^2+1}{a_1}+\frac{3^2+3}{a_3}⟹\frac{12}{a_1+d}=\frac{2}{a_1}+\frac{12}{a_1+2d}$。

化简：$\frac{6}{a_1+d}-\frac{6}{a_1+2d}=\frac{1}{a_1}⟹\frac{6d}{(a_1+d)(a_1+2d)}=\frac{1}{a_1}$。 $6a_{1}d=(a_1+d)(a_1+2d)⟹a_1^2-3a_{1}d+2d^2=0⟹(a_1-d)(a_1-2d)=0$。

解得 $a_1=d$ 或 $a_1=2d$。

再看求和条件：因为 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 均为等差数列，

$S_{99}=\frac{99(a_1+a_{99})}{2}=99a_{50}$，$T_{99}=\frac{99(b_1+b_{99})}{2}=99b_{50}$。 由 $S_{99}-T_{99}=99$ 得 $99(a_{50}-b_{50})=99⟹a_{50}-b_{50}=1$。 即 $a_{50}-\frac{50\times 51}{a_{50}}=1⟹a_{50}^2-a_{50}-2550=0$。 解得 $a_{50}=51$（舍去负值 $a_{50}=-50$，因 $d>1$ 且 $a_1>0$ 则 $a_n>0$）。

分类讨论： ① 若 $a_1=d$，则 $a_{50}=a_1+49d=50d$。 $50d=51⟹d=\frac{51}{50}=1.02$。符合 $d>1$。 ② 若 $a_1=2d$，则 $a_{50}=a_1+49d=51d$。 $51d=51⟹d=1$。不符合 $d>1$，舍去。 综上所述，$d=\frac{51}{50}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列基本量的方程计算、奇数项等差求和的中项转化。
2. 核心方法：方程组思想、$S_{2k-1}=(2k-1)a_k$ 恒等变形、边界条件（$d>1$）筛根法。
3. 避坑指南：

• 证明或应用新数列 $\{b_n\}$ 是等差数列时，取前三项 $2b_2=b_1+b_3$ 建立恒等式即可解出比例关系，无需尝试用 $b_{n+1}-b_n$ 进行证明，以防陷入繁复代数运算。
• 面对大项数求和（如 99 项），绝对不可使用 $\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ 硬算，必须依靠奇数项对称中项原理极速简化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查数列结构分析能力，主要测试方程思想与等差中项性质的灵活运用。
2. 结论推广：等差数列项数为奇数 $2k-1$ 时，前 $n$ 项和 $S_{2k-1}$ 的平均值恰好等于最中间的项 $a_k$。利用这一特征，能快速处理所有大项数奇数列的求和问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-新课标I卷理-07 单-等差数列通项
• 2013-浙江卷理-18 解-等差数列通项与性质