2013-湖南卷理-22 解-导数单调性与最值

本题导读

本题考查导数的应用。核心在于分类讨论法、分段去绝对值法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(理)） 已知 $a>0$，函数 $f(x)=\left|\frac{x-a}{x+2a}\right|$.

(1)记 $f(x)$ 在区间 $[0,4]$ 上的最大值为 $g(a)$，求 $g(a)$ 的表达式；

(2)是否存在 $a$，使函数 $y=f(x)$ 在区间 $(0,4)$ 内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 去绝对值分段：由 $\frac{x-a}{x+2a}$ 的零点 $x=a$ 把定义域分段：当 $0\le x\le a$ 时 $f(x)=\frac{a-x}{x+2a}$，当 $x>a$ 时 $f(x)=\frac{x-a}{x+2a}$。
2. 研究单调性：分别对两段求导判断单调性，可知 $f(x)$ 在 $(0,a)$ 上递减、在 $(a,+\infty )$ 上递增，在 $x=a$ 处取最小值 $0$。
3. 第一问分类讨论：比较区间 $[0,4]$ 与极值点 $x=a$ 的位置：若 $a\ge 4$，$f$ 在 $[0,4]$ 上递减，最大值在 $x=0$ 处；若 $0<a<4$，最大值取端点 $x=0$ 与 $x=4$ 的较大者，再按 $f(0)$ 与 $f(4)$ 的大小细分。
4. 第二问转条件：两点处切线垂直 $⟺$ 两点导数值之积为 $-1$。由单调性知两点必分居 $x=a$ 两侧，设 $x_1\in (0,a)$、$x_2\in (a,4)$，把条件化为关于 $x_1+2a$ 与 $\frac{3a}{x_2+2a}$ 的两个取值集合有公共元素。

✅【答案】

点击查看答案

(1)$g(a)=\{\begin{array}{ll}\frac{4-a}{4+2a},& 0<a\le 1\\ \frac{1}{2},& a>1\end{array}$

(2)存在，$a\in \left(0,\frac{1}{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $g(a)$ 的表达式

由 $\frac{x-a}{x+2a}$ 的零点为 $x=a$，分段得 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{a-x}{x+2a},& 0\le x\le a,\\ \frac{x-a}{x+2a},& x>a.\end{array}$

当 $0<x<a$ 时，$f(x)=\frac{a-x}{x+2a}=\frac{3a}{x+2a}-1$，则 $f^{\prime }(x)=-\frac{3a}{(x+2a{)}^2}<0,$ 故 $f(x)$ 在 $(0,a)$ 上单调递减；

当 $x>a$ 时，$f(x)=\frac{x-a}{x+2a}=1-\frac{3a}{x+2a}$，则 $f^{\prime }(x)=\frac{3a}{(x+2a{)}^2}>0,$ 故 $f(x)$ 在 $(a,+\infty )$ 上单调递增。

（i）若 $a\ge 4$，则 $f(x)$ 在 $(0,4)$ 上单调递减，故 $g(a)=f(0)=\frac{1}{2}$。

（ii）若 $0<a<4$，则 $f(x)$ 在 $(0,a)$ 上递减、在 $(a,4)$ 上递增，故 $g(a)=\max \{f(0),f(4)\}.$ 而 $f(0)-f(4)=\frac{1}{2}-\frac{4-a}{4+2a}=\frac{a-1}{2a+2}.$ 故当 $0<a\le 1$ 时 $f(0)\le f(4)$，此时 $g(a)=f(4)=\frac{4-a}{4+2a}$；当 $1<a<4$ 时 $f(0)>f(4)$，此时 $g(a)=f(0)=\frac{1}{2}$。

综上所述， $g(a)=\{\begin{array}{ll}\frac{4-a}{4+2a},& 0<a\le 1,\\ \frac{1}{2},& a>1.\end{array}$

（2）讨论是否存在满足条件的 $a$

由（1）知，当 $a\ge 4$ 时，$f(x)$ 在 $(0,4)$ 上单调递减，$f^{\prime }(x)=-\frac{3a}{(x+2a{)}^2}<0$ 恒成立，图象上任两点处切线斜率的乘积为正数，不可能等于 $-1$，故 $a\ge 4$ 不满足要求。

当 $0<a<4$ 时，$f(x)$ 在 $(0,a)$ 上递减、在 $(a,4)$ 上递增。若存在 $x_1,x_2\in (0,4)$，$x_1<x_2$，使曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_1,f(x_1))$、$(x_2,f(x_2))$ 处的切线互相垂直，则由单调性知必有 $x_1\in (0,a)$、$x_2\in (a,4)$，且 $f^{\prime }(x_1)\cdot f^{\prime }(x_2)=-1,$ 即 $-\frac{3a}{(x_1+2a{)}^2}\cdot \frac{3a}{(x_2+2a{)}^2}=-1,$ 亦即 $x_1+2a=\frac{3a}{x_2+2a}.(\ast )$

由 $x_1\in (0,a)$、$x_2\in (a,4)$ 得 $x_1+2a\in (2a,3a),\frac{3a}{x_2+2a}\in \left(\frac{3a}{4+2a},1\right).$

故 $(\ast )$ 成立的充要条件是集合 $A=\{x\mid 2a<x<3a\}$ 与集合 $B=\left\{x\mid \frac{3a}{4+2a}<x<1\right\}$ 的交集非空。 因为 $\frac{3a}{4+2a}<3a$（$a>0$），所以 $A\cap B\ne \varnothing$ 当且仅当 $0<2a<1$，即 $0<a<\frac{1}{2}$。

综上所述，存在满足条件的 $a$，且 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含绝对值函数的分段处理、利用导数研究函数的单调性与最值、导数的几何意义（切线斜率）以及两条直线垂直的充要条件。

核心方法：分类讨论法加值域交集法。第一问按极值点 $x=a$ 与区间 $[0,4]$ 的位置关系分类求最值；第二问把「切线垂直」翻译成「导数值之积为 $-1$」，再把等式两边分别看成关于 $x_1$、$x_2$ 的表达式，用两个值域集合有公共元素求解。

避坑指南：- 去绝对值后两段在 $x=a$ 处的函数值为 $0$，是分段后最容易出错的地方。 - $a\ge 4$ 时两处切线斜率同号，乘积不可能为 $-1$，这一情形要单独说明并排除。 - 由 $\frac{3a}{4+2a}<3a$ 直接得到 $A\cap B\ne \varnothing ⟺2a<1$，不要漏掉 $a>0$ 这一前提。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的单调性与最值、导数的几何意义、分段函数的图象与性质。

结论推广：对 $f(x)=\left|\frac{x-a}{x+2a}\right|$，其在 $(0,4)$ 内存在两点处切线互相垂直的充要条件是 $a\in \left(0,\frac{1}{2}\right)$，与区间长度 $4$ 的具体数值有关（$4$ 出现在 $\frac{3a}{4+2a}$ 中）。

方法推广：「图象上存在两点处切线互相垂直」这类存在性问题，通法是把垂直条件 $f^{\prime }(x_1)f^{\prime }(x_2)=-1$ 分离成 $g(x_1)=h(x_2)$ 的形式，再要求 $g$、$h$ 在各自区间上的值域有公共元素。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-21 解-导数单调性与最值
• 2013-湖北卷理-22 解-导数单调性与最值
• 2013-江苏卷-20 解-导数单调性与最值