2013-辽宁卷理-21 解-导数单调性与最值

本题导读

本题考查导数的应用。核心在于构造函数法、两次求导法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） 已知函数 $f(x)=(1+x)e^{-2x}$，$g(x)=ax+\frac{x^3}{2}+1+2x\cos x$.当 $x\in [0,1]$ 时，

（I）求证：$1-x\le f(x)\le \frac{1}{1+x}$；

（II）若 $f(x)\ge g(x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（证明不等式）：
   • 左半部分：证 $(1+x)e^{-2x}\ge 1-x$。由于直接求导较复杂，可变形为 $(1+x)e^{-x}\ge (1-x)e^x$，构造 $h(x)=(1+x)e^{-x}-(1-x)e^x$ 研究其单调性。
   • 右半部分：证 $(1+x)e^{-2x}\le \frac{1}{1+x}$。变形为 $(1+x{)}^2\le e^{2x}$，即 $e^x\ge 1+x$。这是一个经典的泰勒展开基础不等式，通过构造 $k(x)=e^x-x-1$ 易证。
2. 第二问（求参数范围）：
   • 利用第一问的结论进行不等式放缩。已知 $f(x)\ge 1-x$，若要 $f(x)\ge g(x)$，可以先考虑 $1-x\ge g(x)$ 的情况。
   • 整理 $f(x)-g(x)\ge 0$。由第一问放缩得 $f(x)-g(x)\ge 1-x-g(x)=-x(a+1+\frac{x^2}{2}+2\cos x)$。
   • 构造辅助函数研究 $a+1+\frac{x^2}{2}+2\cos x$ 的最值，利用二次求导确定其单调性，从而锁定 $a$ 的临界值。最后需补充证明当 $a$ 大于该值时，不等式在 $x=0$ 附近不成立。

✅【答案】

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综上，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,-3]$

✍【详细解析】

Abstract

（I）证明： ① 先证 $f(x)\ge 1-x$，即 $(1+x)e^{-2x}\ge 1-x$。 在 $x\in [0,1]$ 时，$e^x>0$，等价于证 $(1+x)e^{-x}\ge (1-x)e^x$。 令 $h(x)=(1+x)e^{-x}-(1-x)e^x$，则 $h^{\prime }(x)=e^{-x}-(1+x)e^{-x}-[-e^x+(1-x)e^x]=x(e^x-e^{-x})$。 当 $x\in [0,1]$ 时，$e^x\ge e^{-x}$，故 $h^{\prime }(x)\ge 0$。 所以 $h(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，$h(x)\ge h(0)=0$。即 $f(x)\ge 1-x$ 成立。

② 再证 $f(x)\le \frac{1}{1+x}$，即 $(1+x{)}^2{e}^{-2x}\le 1$。 等价于证 $(1+x{)}^2\le e^{2x}$，即 $e^x\ge 1+x$。 令 $k(x)=e^x-x-1$，则 $k^{\prime }(x)=e^x-1$。 当 $x\in [0,1]$ 时，$k^{\prime }(x)\ge 0$，故 $k(x)$ 单调递增，$k(x)\ge k(0)=0$。 即 $e^x\ge 1+x$ 成立，故 $f(x)\le \frac{1}{1+x}$ 成立。 综上所述，$1-x\le f(x)\le \frac{1}{1+x}$。

（II）解： 由（I）知 $f(x)\ge 1-x$，考虑 $1-x\ge g(x)$。 $f(x)-g(x)\ge 1-x-(ax+\frac{x^3}{2}+1+2x\cos x)=-x(a+1+\frac{x^2}{2}+2\cos x)$。 设 $G(x)=\frac{x^2}{2}+2\cos x$，则 $G^{\prime }(x)=x-2\sin x$。 再设 $H(x)=x-2\sin x$，则 $H^{\prime }(x)=1-2\cos x$。 当 $x\in [0,1]$ 时，$1-2\cos x\le 1-2\cos 1<0$（因为 $\cos 1>1/2$）。 故 $H(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减，$H(x)\le H(0)=0$。 即 $G^{\prime }(x)\le 0$，所以 $G(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减，$G(x)\le G(0)=2$。 当 $a\le -3$ 时，$a+1+G(x)\le -3+1+2=0$。 此时 $f(x)-g(x)\ge -x(a+1+G(x))\ge 0$，恒成立。 通过进一步论证（利用 $f(x)\le \frac{1}{1+x}$ 限制上限）可知，当 $a>-3$ 时，在 $x=0$ 的右邻域内 $f(x)<g(x)$ 不恒成立。

综上，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,-3]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数在不等式放缩与证明中的应用；二阶导数判定单调性。

核心方法：“以简御繁”。第一问的结论实际上是为第二问提供了“函数尺码”，通过将复杂的指数函数 $f(x)$ 放缩为简单的多项式 $1-x$，从而简化了与 $g(x)$ 的比较。

避坑指南：在处理 $H^{\prime }(x)=1-2\cos x$ 时，要对 $\cos 1$ 的数值范围有大致估计（$1$ 弧度约为 $57.3^{\circ }$），确保符号判断正确。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：泰勒公式、拉格朗日中值定理。

结论推广：$e^x\ge 1+x$ 是导数压轴题中最基础的放缩不等式，由此衍生出的 $e^x\ge 1+x+\frac{1}{2}{x}^2$ 等级数放缩也常出现在考题中。

方法推广：面对恒成立问题，若参数 $a$ 无法直接分离，通常构造整体函数 $F(x)=f(x)-g(x)$ 并求导研究其最小值是否 $\ge 0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.03 专题-恒成立问题
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-06 单-导数单调性
• 2014-江西卷文-18 解-导数最值
• 2014-福建卷文-22 解-导数