2013-福建卷理-03 单-双曲线的简单几何性质

本题导读

本题考查双曲线，以及双曲线的简单几何性质。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(理)） 双曲线 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 的顶点到渐近线的距离等于()

A. $\frac{2}{5}$　　　　　　B. $\frac{4}{5}$　　　　　　C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$　　　　　　D. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

🔍【思路分析】

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1. 确定基本参数：由双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 确定 $a$ 和 $b$ 的值。
2. 写出顶点坐标：双曲线的实轴在 $x$ 轴上，顶点坐标为 $(\pm a,0)$。根据对称性，取其中一个顶点即可。
3. 确定渐近线方程：令双曲线方程右侧为 0，即 $\frac{x^2}{4}-y^2=0$，解出 $y$ 关于 $x$ 的关系式。
4. 利用距离公式：使用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 计算。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定几何要素 已知双曲线方程为 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$，则：

• $a^2=4⟹a=2$
• $b^2=1⟹b=1$

第二步：求顶点坐标 双曲线焦点在 $x$ 轴上，其顶点坐标为 $(\pm 2,0)$。 由于对称性，我们不妨取顶点 $A(2,0)$。

第三步：求渐近线方程 渐近线方程为 $\frac{x^2}{4}-y^2=0⟹y=\pm \frac{1}{2}x$。 化为一般式：$x-2y=0$（或 $x+2y=0$）。

第四步：计算距离 顶点 $(2,0)$ 到直线 $x-2y=0$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|1\times 2-2\times 0|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}$ $d=\frac{2}{\sqrt{1+4}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$ 进行分母有理化： $d=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

核心方法：“降维打击”。解析几何中的距离问题通常直接回归到解析式与坐标点，利用标准公式求解即可，无需复杂作图。

避坑指南：- 注意 $a$ 是分母的平方根，本题中 $a=2$ 而非 $4$。 - 渐近线一般式转化要准确，确保距离公式分母开方无误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线的离心率、等轴双曲线的特性。

结论推广：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的顶点到渐近线的距离恒等于 $d=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$，而焦点到渐近线的距离恒等于 $b$。

方法推广：涉及圆锥曲线的距离问题，通常需结合对称性简化运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-11 多-双曲线几何性质
• 2025-上海卷-15 单-双曲线的性质
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线