2013-辽宁卷文-18 解-圆直径线面垂直平行

本题导读

本题考查直线与平面垂直的判定。核心在于线面垂直判定定理、向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） 如图，$AB$ 是圆的直径，$PA$ 垂直圆所在的平面，$C$ 是圆上的点.

(1)求证：$BC\perp$ 平面 $PAC$；

(2)设 $Q$ 为 $PA$ 的中点，$G$ 为 $△AOC$ 的重心，求证：$QG\parallel$ 平面 $PBC$.

🔍【思路分析】

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1. $(1)$ $AC\perp BC$（直径对直角）+ $PA\perp BC$ → $BC\perp$ 平面 $PAC$。
2. $(2)$ $\overrightarrow{QG}=\frac{A+O+C}{3}-\frac{P+A}{2}=\frac{2O+2C-3P-A}{6}$；由 $B=2O-A$：$=\frac{B-P}{6}+\frac{2(C-P)}{6}=\frac{1}{6}\overrightarrow{PB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{PC}$。

✅【答案】

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(1)见解析；(2)见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1） $AB$ 是圆的直径，$C$ 在圆上，故 $\angle ACB=90^{\circ }$，$AC\perp BC$。 $PA\perp$ 圆所在平面，$BC\subset$ 该平面 → $PA\perp BC$。 $AC\cap PA=A$，$AC$，$PA\subset$ 平面 $PAC$，所以 $BC\perp$ 平面 $PAC$。 （2） $O$ 为圆心，即 $O$ 为 $AB$ 的中点：$\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}$，即 $B=2O-A$（向量式 $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AO}$ 的等价写法）。 $Q$ 为 $PA$ 中点：$\overrightarrow{Q}=\frac{P+A}{2}$；$G$ 为 $△AOC$ 的重心：$\overrightarrow{G}=\frac{A+O+C}{3}$。 $\overrightarrow{QG}=\overrightarrow{G}-\overrightarrow{Q}=\frac{A+O+C}{3}-\frac{P+A}{2}=\frac{2O+2C-3P-A}{6}.$ 代入 $2O-A=B$（由 $O=\frac{A+B}{2}$）： $\overrightarrow{QG}=\frac{B+2C-3P}{6}=\frac{B-P}{6}+\frac{2(C-P)}{6}=\frac{1}{6}\overrightarrow{PB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{PC}.$ 即 $\overrightarrow{QG}$ 可由平面 $PBC$ 内的两个不共线向量 $\overrightarrow{PB}$、$\overrightarrow{PC}$ 线性表示，故 $QG\parallel$ 平面 $PBC$（$QG\not\subset$ 平面 $PBC$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的性质 + 线面垂直与线面平行

核心方法：$(1)$ $AB$ 为直径 → $AC\perp BC$，$PA\perp$ 圆面 → $PA\perp BC$ → $BC\perp$ 平面 $PAC$；$(2)$ $\overrightarrow{QG}=\frac{1}{6}\overrightarrow{PB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{PC}$（用 $O$ 为 $AB$ 中点、$G=\frac{A+O+C}{3}$）→ $QG\parallel$ 平面 $PBC$

避坑指南：$(1)$ 直径所对圆周角是直角给 $AC\perp BC$，与 $PA\perp BC$ 拼线面垂直；$(2)$ 重心坐标 $G=\frac{A+O+C}{3}$ 与中点 $Q=\frac{P+A}{2}$ 代入后，关键是用 $B=2O-A$（$O$ 是 $AB$ 中点）把系数凑成 $\overrightarrow{PB}$、$\overrightarrow{PC}$ 的线性组合——凑不出组合就退回取中位线的几何法。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面垂直、线面平行的综合证明（圆的直径背景）。

结论推广：圆周角定理；线面垂直判定；向量共面表述。

方法推广：$(1)$ 圆周角 + 线面垂直判定；$(2)$ 重心与中点的向量运算凑共面系数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直
• 2013-山东卷文-19 解-线面平行面面垂直
• 2013-新课标II卷文-18 解-线面平行与棱锥体积