2013-山东卷文-19 解-线面平行面面垂直

本题导读

本题考查直线与平面平行的判定。核心在于中位线构造平行四边形、面面平行传递的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，$AB\perp AC$，$AB\perp PA$，$AB\parallel CD$，$AB=2CD$，$E$，$F$，$G$，$M$，$N$ 分别为 $PB$，$AB$，$BC$，$PD$，$PC$ 的中点.

(1)求证：$CE\parallel$ 平面 $PAD$;

(2)求证：平面 $EFG\perp$ 平面 $EMN$.

🔍【思路分析】

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1. (1) 取 $PA$ 中点 $H$，连 $EH$、$DH$：$EH$ 是 $△PAB$ 中位线 → $EH\parallel AB$、$EH=\frac{1}{2}AB=CD$；又 $CD\parallel AB$ → 四边形 $CDHE$ 是平行四边形 → $CE\parallel DH$。
2. (2) $EF\parallel PA$、$FG\parallel AC$（中位线）→ 平面 $EFG\parallel$ 平面 $PAC$；$MN\parallel CD\parallel AB$、$EN\parallel BC$ → 平面 $EMN\parallel$ 平面 $ABC$。
3. $AB\perp AC$、$AB\perp PA$ → $AB\perp$ 平面 $PAC$ → 平面 $ABC\perp$ 平面 $PAC$。

✅【答案】

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(1)(2) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 取 $PA$ 的中点 $H$，连接 $EH$、$DH$。 在 $△PAB$ 中，$E$、$H$ 分别为 $PB$、$PA$ 的中点，所以 $EH\parallel AB$，且 $EH=\frac{1}{2}AB$。 又 $CD\parallel AB$，$AB=2CD$，即 $CD=\frac{1}{2}AB$，所以 $EH\parallel CD$ 且 $EH=CD$，从而四边形 $CDHE$ 是平行四边形，故 $CE\parallel DH.$ 又 $DH\subset$ 平面 $PAD$（$D$ 在底面、$H$ 在 $PA$ 上），$CE\not\subset$ 平面 $PAD$，所以 $CE\parallel \text{平面}PAD.$ (2) 在 $△PAB$ 中，$E$、$F$ 分别为 $PB$、$AB$ 的中点，所以 $EF\parallel PA$； 在 $△ABC$ 中，$F$、$G$ 分别为 $AB$、$BC$ 的中点，所以 $FG\parallel AC$。 $EF\cap FG=F$，$EF\subset$ 平面 $EFG$，$FG\subset$ 平面 $EFG$；$PA\cap AC=A$，$PA\subset$ 平面 $PAC$，$AC\subset$ 平面 $PAC$。所以 $\text{平面}EFG\parallel \text{平面}PAC.$ 同理，在 $△PDC$ 中 $M$、$N$ 为 $PD$、$PC$ 的中点，$MN\parallel CD\parallel AB$；在 $△PBC$ 中 $E$、$N$ 为 $PB$、$PC$ 的中点，$EN\parallel BC$。$MN\cap EN=N$，所以 $\text{平面}EMN\parallel \text{平面}ABC.$ 又 $AB\perp AC$，$AB\perp PA$，$AC\cap PA=A$，$AC$、$PA\subset$ 平面 $PAC$，所以 $AB\perp$ 平面 $PAC$。 而 $AB\subset$ 平面 $ABC$，所以平面 $ABC\perp$ 平面 $PAC$。 由平面 $EMN\parallel$ 平面 $ABC$、平面 $EFG\parallel$ 平面 $PAC$，得 $\text{平面}EFG\perp \text{平面}EMN.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行与面面垂直

核心方法：(1) 取 $PA$ 中点 $H$：$EH\parallel AB$ 且 $EH=\frac{1}{2}AB=CD$ → 四边形 $CDHE$ 为平行四边形 → $CE\parallel DH$；(2) 平面 $EFG\parallel$ 平面 $PAC$、平面 $EMN\parallel$ 平面 $ABC$，而 $AB\perp$ 平面 $PAC$

避坑指南：(1) 别忘了现成的中点 $E$、$F$：$△PAB$ 中 $EF\parallel PA$、$△ABC$ 中 $FG\parallel AC$——平面 $EFG$ 与平面 $PAC$ 平行是第 (2) 问的钥匙；中点条件一律先想中位线。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间位置关系的综合证明（山东卷解答题固定题型）。

结论推广：三角形中位线平行于第三边且等于其一半；线面平行、面面平行的判定定理；线面垂直的判定（$AB\perp AC$ 且 $AB\perp PA$ → $AB\perp$ 平面 $PAC$）。

方法推广：证明链：线线 → 线面 → 面面逐级上升；多中点条件优先构造中位线把”散点”连成平行线网，再借”平面与平面平行”传递垂直。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直
• 2014-四川卷文-18 解-线面垂直与平行