2013-重庆卷理-10 单-向量加减法

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及向量的加法与减法。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(理)） 在平面上，$\overrightarrow{A{B}_1}\perp \overrightarrow{A{B}_2}$，$|\overrightarrow{O{B}_1}|=|\overrightarrow{O{B}_2}|=1$，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{A{B}_1}+\overrightarrow{A{B}_2}$.若 $|\overrightarrow{OP}|<\frac{1}{2}$，则 $|\overrightarrow{OA}|$ 的取值范围是()

A. $(0,\frac{\sqrt{5}}{2}]$　　　B. $(\frac{\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{7}}{2}]$　　　C. $(\frac{\sqrt{5}}{2},\sqrt{2}]$　　　D. $(\frac{\sqrt{7}}{2},\sqrt{2}]$

🔍【思路分析】

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1. 分析几何结构：
   • 因为 $\overrightarrow{A{B}_1}\perp \overrightarrow{A{B}_2}$，由向量加法法则知 $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{A{B}_1}+\overrightarrow{A{B}_2}$。这构成了一个以 $A$ 为原点，$A{B}_1,A{B}_2$ 为邻边的矩形，$AP$ 为该矩形的对角线。
   • 设 $\overrightarrow{A{B}_1}=\vec{a},\overrightarrow{A{B}_2}=\vec{b}$，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$，且 $\overrightarrow{AP}=\vec{a}+\vec{b}$。
2. 转化模的关系：
   • 根据向量减法，$\overrightarrow{O{B}_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{A{B}_1}=\overrightarrow{OA}+\vec{a}$，$\overrightarrow{O{B}_2}=\overrightarrow{OA}+\vec{b}$。
   • 同理，$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OA}+\vec{a}+\vec{b}$。
3. 利用已知模的等式：
   • $|\overrightarrow{O{B}_1}{|}^2=|\overrightarrow{OA}+\vec{a}{|}^2=|\overrightarrow{OA}{|}^2+|\vec{a}{|}^2+2\overrightarrow{OA}\cdot \vec{a}=1$
   • $|\overrightarrow{O{B}_2}{|}^2=|\overrightarrow{OA}+\vec{b}{|}^2=|\overrightarrow{OA}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2\overrightarrow{OA}\cdot \vec{b}=1$
4. 建立目标不等式：
   • 利用 $|\overrightarrow{OP}{|}^2<\frac{1}{4}$ 展开：$|\overrightarrow{OA}+\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\overrightarrow{OA}{|}^2+|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2\overrightarrow{OA}\cdot \vec{a}+2\overrightarrow{OA}\cdot \vec{b}+2\vec{a}\cdot \vec{b}<\frac{1}{4}$。
   • 将前面的等式代入消元，保留 $|\overrightarrow{OA}|$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：引入代数变量 设 $\overrightarrow{OA}=\vec{x},\overrightarrow{A{B}_1}=\vec{a},\overrightarrow{A{B}_2}=\vec{b}$。 已知 $\vec{a}\perp \vec{b}⟹\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。 且 $|\vec{x}+\vec{a}{|}^2=1⟹|\vec{x}{|}^2+|\vec{a}{|}^2+2\vec{x}\cdot \vec{a}=1$ ① $|\vec{x}+\vec{b}{|}^2=1⟹|\vec{x}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2\vec{x}\cdot \vec{b}=1$ ②

第二步：展开目标式 因为 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\vec{x}+\vec{a}+\vec{b}$， 由 $|\overrightarrow{OP}{|}^2<\frac{1}{4}$ 得： $|\vec{x}+\vec{a}+\vec{b}{|}^2=(\vec{x}+\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{x}+\vec{a}+\vec{b})$ $=|\vec{x}{|}^2+|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2\vec{x}\cdot \vec{a}+2\vec{x}\cdot \vec{b}+2\vec{a}\cdot \vec{b}<\frac{1}{4}$

将 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 代入： $|\vec{x}{|}^2+|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2\vec{x}\cdot \vec{a}+2\vec{x}\cdot \vec{b}<\frac{1}{4}$ ③

第三步：组合消元 由 ① + ② 得： $2|\vec{x}{|}^2+|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2\vec{x}\cdot \vec{a}+2\vec{x}\cdot \vec{b}=2$ 整理得：$|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2\vec{x}\cdot \vec{a}+2\vec{x}\cdot \vec{b}=2-2|\vec{x}{|}^2$ 将此式代入不等式 ③： $|\vec{x}{|}^2+(2-2|\vec{x}{|}^2)<\frac{1}{4}$ $2-|\vec{x}{|}^2<\frac{1}{4}⟹|\vec{x}{|}^2>2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$ 所以 $|\overrightarrow{OA}|>\frac{\sqrt{7}}{2}$。

第四步：确定上限 根据三角形性质，矩形对角线的中点到各顶点距离相等，或由 ①、② 可知： $|\vec{a}{|}^2=1-|\vec{x}{|}^2-2\vec{x}\cdot \vec{a}\ge 0$ 此外，由平行四边形定则或矩形性质可知，在特定极端位置下， $|\overrightarrow{OA}|$ 的最大值出现在 $\overrightarrow{OA}$ 与对角线共线等对称位置。 通过 $|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2=2-2|\vec{x}{|}^2-2\vec{x}\cdot (\vec{a}+\vec{b})$ 结合判别式或几何界限可知： 当 $O$ 为矩形中心时模最小，当 $O$ 靠近某边界时模增大。由 $2-|\vec{x}{|}^2\ge 0$（保证 $\vec{a},\vec{b}$ 存在性）可得 $|\vec{x}{|}^2\le 2$，即 $|\overrightarrow{OA}|\le \sqrt{2}$。

综上，$|\overrightarrow{OA}|\in (\frac{\sqrt{7}}{2},\sqrt{2}]$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：“整体代换法”。通过将 $|\overrightarrow{O{B}_1}|$ 和 $|\overrightarrow{O{B}_2}|$ 的展开式相加，正好构造出 $|\overrightarrow{OP}{|}^2$ 展开式中的公共部分，从而消去不确定的交叉项 $\vec{x}\cdot \vec{a}$。 2. 几何直观：本题背景是一个以 $A$ 为直角顶点的直角三角形或矩形，$O$…

避坑指南：不要尝试解出具体的坐标或向量方向，利用向量模的平方运算进行代数化简是最快捷的。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极化恒等式、余弦定理的向量形式。

结论推广：若 $|\overrightarrow{OP}|<m$，则结果会随 $m$ 的变化而改变。这类题目反映了点到几何中心距离与到顶点距离的能量守恒关系。

方法推广：涉及多个模的复杂关系式，先全部平方展开，再寻找方程组间的线性组合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-10 单-向量模
• 2014-湖北卷文-12 填-向量模
• 2014-江西卷文-12 填-向量模