2013-重庆卷理-18 解-古典概型

本题导读

本题考查古典概型。核心在于组合计数法、独立事件乘法公式的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(理)） 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个篮球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球，根据摸出 4 个球中红球与篮球的个数，设一、二、三等奖如下：

奖级	摸出红、篮球个数	获奖金额
一等奖	3 红 1 蓝	200 元
二等奖	3 红 0 蓝	50 元
三等奖	2 红 1 蓝	10 元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.

(1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率；

(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 $X$ 的分布列与期望 $E(X)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析试验结构：

   • 试验分两步：第一步从 7 个球（3 红 4 白）中取 3 个；第二步从 3 个球（1 蓝 2 白）中取 1 个。

   • 设 $A_i$ 为摸出 $i$ 个红球的事件，$B_j$ 为摸出 $j$ 个蓝球的事件，由于是在两个不同的袋子中操作，这两个事件相互独立。

2. 第一问（古典概型）：

   • 总情况数：从 7 个取 3 个，$C_7^3$。

   • 目标情况：从 3 个红球取 1 个，从 4 个白球取 2 个。

3. 第二问（分布列与期望）：

   • 确定取值：$X$ 可取 $0,10,50,200$。

   • 计算各点概率：

     • $P(X=200)=P(3\text{红})\times P(1\text{蓝})$

     • $P(X=50)=P(3\text{红})\times P(0\text{蓝})$

     • $P(X=10)=P(2\text{红})\times P(1\text{蓝})$

     • $P(X=0)$ 为剩余概率（$1$ 减去上述之和）。

   • 求期望：各金额与其概率乘积之和。

✅【答案】

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200；50；10

✍【详细解析】

Abstract

解：

设 $A_i$ 表示摸出 $i$ 个红球（$i=0,1,2,3$），$B_j$ 表示摸出 $j$ 个篮球（$j=0,1$）。

由题意知 $A_i$ 与 $B_j$ 相互独立。

（Ⅰ）计算恰好摸到 1 个红球的概率：

从第一个袋子摸 3 个球的总方法数为 $C_7^3=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$。

摸到 1 个红球的方法数为 $C_3^1{C}_4^2=3\times 6=18$。

故 $P(A_1)=\frac{18}{35}$。

（Ⅱ）计算分布列与期望：

$X$ 的所有可能取值为 $200,50,10,0$。

各事件的概率计算如下：

• $P(A_3)=\frac{C_3^3}{C_7^3}=\frac{1}{35}$；

• $P(A_2)=\frac{C_3^2{C}_4^1}{C_7^3}=\frac{3\times 4}{35}=\frac{12}{35}$；

• $P(B_1)=\frac{C_1^1}{C_3^1}=\frac{1}{3}$；

• $P(B_0)=\frac{C_2^1}{C_3^1}=\frac{2}{3}$。

对应各奖级的概率：

• $P(X=200)=P(A_3{B}_1)=P(A_3)P(B_1)=\frac{1}{35}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{105}$；

• $P(X=50)=P(A_3{B}_0)=P(A_3)P(B_0)=\frac{1}{35}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{105}$；

• $P(X=10)=P(A_2{B}_1)=P(A_2)P(B_1)=\frac{12}{35}\times \frac{1}{3}=\frac{12}{105}=\frac{4}{35}$；

• $P(X=0)=1-(\frac{1}{105}+\frac{2}{105}+\frac{12}{105})=1-\frac{15}{105}=1-\frac{1}{7}=\frac{6}{7}$。

$X$ 的分布列如下：

X	200	50	10	0
$P$	$\frac{1}{105}$	$\frac{2}{105}$	$\frac{12}{105}$	$\frac{90}{105}$

计算期望 $E(X)$：

$E(X)=200\times \frac{1}{105}+50\times \frac{2}{105}+10\times \frac{12}{105}+0\times \frac{90}{105}$

$E(X)=\frac{200+100+120}{105}=\frac{420}{105}=4$

所以，一次摸奖获奖金额的期望为 4 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：“独立分步法”。由于红球和蓝球来自两个袋子，分开计算单步概率再相乘，比直接列出所有组合要快且准。 2. 易错点：计算 $P(X=0)$ 时。虽然可以直接通过其他球个数组合来求，但用 $1-\sum P(\text{获奖})$ 是最稳妥的验证方式。

避坑指南：注意表格中的 $n$ 红 $m$ 蓝对应的是正好的情况，不要漏乘了另一个袋子摸出白球的概率（例如二等奖其实是 3 红且 1 个“非蓝”）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：超几何分布、二项分布、互斥事件。

结论推广：若商场将成本控制在期望值以下，该活动即可盈利。

方法推广：涉及多个阶段、多个变量的分布列问题，建议先写出基础概率（如 $P(A_i),P(B_j)$），再根据定义进行组合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-04 单-古典概型
• 2015-广东卷文-07 单-古典概型
• 2015-山东卷文-16 解-古典概型