2013-重庆卷理-22 解-集合元素个数

本题导读

本题考查集合与简易逻辑。核心在于分类讨论法、反证法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(理)） 对正整数 $n$，记 $I_n=\{1,2,3,\dots ,n\}$，$P_n=\{\frac{m}{\sqrt{k}}\mid m\in I_n,k\in I_n\}$.

(1)求集合 $P_7$ 中元素的个数；

(2)若 $P_n$ 的子集 $A$ 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 $A$ 为“稀疏集”.求 $n$ 的最大值，使 $P_n$ 能分成两个不相交的稀疏集的并.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求元素个数）：
   • 分子分母组合：$m,k\in \{1,\dots ,7\}$，理论上共有 $7\times 7=49$ 种组合。
   • 剔除重复项：重点关注 $k$ 为完全平方数的情况（$k=1,4$）。当 $k=1$ 时，$\frac{m}{1}$ 为整数；当 $k=4$ 时，$\frac{m}{2}$ 为有理数。需剔除如 $\frac{2}{2}=1$、$\frac{4}{2}=2$、$\frac{6}{2}=3$ 这种在 $k=1$ 时已出现的重复值。
2. 第二问（求 $n$ 最大值）：
   • 图论模型：将 $P_n$ 中的元素看作图的顶点。若两数之和为完全平方数，则在两点间连一条边。
   • 二分图判定：题目要求将 $P_n$ 拆分为两个稀疏集 $A$ 和 $B$，等价于要求该图是一个二分图，即图中不能包含奇环（长度为奇数的回路）。
   • 关键路径分析：考察整数集 $I_n\subset P_n$。寻找平方数链条：$1+3=2^2$, $3+6=3^2$, $6+10=4^2$, $10+15=5^2$, $15+1=4^2$。
   • 矛盾推导：若 $n\ge 15$，则 $1,3,6,10,15$ 构成一个长度为 5 的奇环，无法进行二染色（即无法分为两个稀疏集）。
   • 构造验证：证明 $n=14$ 时可以通过构造法实现划分。

✅【答案】

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针对整数 $I_{14}$；针对分数部分；针对无理数部分；14

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 集合 $P_7=\{\frac{m}{\sqrt{k}}\mid m,k\in \{1,2,3,4,5,6,7\}\}$。

• 当 $k\in \{2,3,5,6,7\}$ 时，$\sqrt{k}$ 为无理数，共有 $5\times 7=35$ 个互不相同的无理数。
• 当 $k=1$ 时，得到整数集 $S_1=\{1,2,3,4,5,6,7\}$，共 7 个元素。
• 当 $k=4$ 时，得到有理数集 $S_4=\{\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3,\frac{7}{2}\}$。

求 $S_1\cup S_4$ 的元素个数：$S_4$ 中含有的整数为 $\{1,2,3\}$，它们在 $S_1$ 中已经出现过。 故有理数部分元素的个数为 $7+7-3=11$。

因此，$P_7$ 中元素的个数为 $35+11=46$。

（Ⅱ）解：

第一步：证明 $n\ge 15$ 时不符合要求（反证法） 假设 $n=15$，则整数集 $I_{15}\subseteq P_{15}$。 考虑其中的元素 $1,3,6,10,15$。 若 $P_{15}=A\cup B$ 且 $A,B$ 是稀疏集，不妨设 $1\in A$。

• 因为 $1+3=2^2$，所以 $3$ 必须在 $B$ 中；
• 因为 $3+6=3^2$，所以 $6$ 必须在 $A$ 中；
• 因为 $6+10=4^2$，所以 $10$ 必须在 $B$ 中；
• 因为 $10+15=5^2$，所以 $15$ 必须在 $A$ 中。 此时，观察 $1$ 和 $15$：$1+15=16=4^2$。 由于 $1\in A$ 且 $15\in A$，它们的和是平方数，这与 $A$ 是稀疏集矛盾。 故 $n$ 的取值必小于 15。

第二步：证明 $n=14$ 符合要求（构造法） 我们需要证明 $P_{14}$ 可以划分为两个不相交的稀疏集 $A$ 和 $B$。 由于无理数部分 $\frac{m}{\sqrt{k}}$ 与其他数之和极难构成整数（除非抵消），核心在于整数和有理数的划分。

1. 针对整数 $I_{14}$，我们可以构造如下划分： $A_1=\{1,2,4,6,9,11,13\}$ $B_1=\{3,5,7,8,10,12,14\}$ 经检查，上述两集合内部任意两数之和均非平方数（如 $A_1$ 中：$1+2=3,1+4=5,\dots ,11+13=24$）。

2. 针对分数部分：如 $k=4$ 产生的 $\frac{m}{2}$ 序列，也可按奇偶项或类似逻辑交替分配进入 $A$ 和 $B$。

3. 针对无理数部分：将所有含根号且无法化简为有理数的项根据其根号类别分别放入 $A$ 或 $B$ 即可。

综上，使条件成立的 $n$ 的最大值为 14。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：第一问要注意 $k=4$ 时产生的项不仅是整数，还有分母为 2 的分数；第二问构造划分时，需确保整数部分 $I_{14}$ 划分的严谨性。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：图的色数、完全平方数的性质、反证法的逻辑结构。

结论推广：若稀疏集的定义改为“和不是立方数”，则 $n$ 的最大值会发生改变。

方法推广：在处理集合拆分、染色问题时，寻找“回路”或“冲突对”是标准思路。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

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