2011-广东卷理-08 单-集合新定义

本题导读

本题考查集合的新定义问题，以及整数的代数结构与同余性质。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(理)） 设 $S$ 是整数集 $\mathbf{Z}$ 的非空子集，如果对于 $\forall a,b\in S$，有 $ab\in S$，则称 $S$ 关于数的乘法是封闭的. 若 $T,V$ 是 $\mathbf{Z}$ 的两个不相交的非空子集，$T\cup V=\mathbf{Z}$，且对于 $\forall a,b,c\in T$，有 $abc\in T$，$\forall x,y,z\in V$，有 $xyz\in V$. 则下列结论恒成立的是 ()

A. $T,V$ 中至少有一个关于乘法是封闭的

B. $T,V$ 中至多有一个关于乘法是封闭的

C. $T,V$ 中有且只有一个关于乘法是封闭的

D. $T,V$ 中每一个关于乘法都是封闭的

🔍【思路分析】

破题导航

1. 考虑模 2 剩余类：奇数集与偶数集。奇数集对三元乘法封闭，偶数集对三元乘法也封闭；两奇数之积仍为奇数（封闭），两偶数之积仍为偶数（封闭），此时两者皆封闭，排除 (B) 和 (C)。
2. 考虑乘法单位元 $1$：因为 $T\cup V=\mathbf{Z}$ 且两两不交，必有 $1\in T$ 或 $1\in V$。
3. 不失一般性，若 $1\in T$，由已知对于 $\forall a,b\in T$，均有 $a\cdot b\cdot 1\in T$，即 $ab\in T$，由此推出 $T$ 必然封闭。同理若 $1\in V$，则 $V$ 必然封闭。
4. 综合得出 $T,V$ 中至少有一个关于乘法是封闭的。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $T\cup V=\mathbf{Z}$ 且 $T\cap V=\varnothing$，$1\in \mathbf{Z}$， 所以必有 $1\in T$ 或 $1\in V$，两者必居其一。 若 $1\in T$，已知对任意 $a,b,c\in T$ 均有 $abc\in T$。 取 $c=1\in T$，则对任意 $a,b\in T$，有 $ab=ab\cdot 1\in T$。 根据定义，$T$ 关于数的乘法是封闭的。 同理，若 $1\in V$，取 $z=1\in V$，则对任意 $x,y\in V$，有 $xy=xy\cdot 1\in V$，$V$ 关于数的乘法是封闭的。 因此，$T$ 和 $V$ 中至少有一个关于乘法是封闭的。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：代数结构的封闭性概念、单位元的特殊性质。
• 核心方法：抓取特殊元素（乘法单位元 $1$）降低维度，将三元条件退化为二元条件。
• 避坑指南：容易误以为两集合必须一个封闭一个不封闭；事实上奇偶数划分下两者均封闭，故排除 (B)、(C)；亦存在一方封闭一方不封闭的情形，故排除 (D)。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于近世代数（抽象代数）中的半群、子半群及群的陪集分解理论。
• 结论推广：对具有单位元 $e$ 的任意代数系统 $(M,\cdot )$，若有限个两两不交的子集覆盖 $M$，且每个子集对多项积运算封闭，则包含单位元 $e$ 的那个子集必定对二元积封闭。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2010-四川卷文-16 填-封闭集新定义
• 2013-湖北卷文-17 填-格点多边形
• 2013-重庆卷理-22 解-集合元素个数