2013-陕西卷文-07 单-线性规划最值

本题导读

本题考查二元一次不等式表示的平面区域，以及线性目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(文)） 若点 $(x,y)$ 位于曲线 $y=|x|$ 与 $y=2$ 所围成的封闭区域，则 $2x-y$ 的最小值是()

A. $-6$　　　　　　　B. $-2$　　　　　　　C. $0$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 区域为 $\{(x,y)\mid |x|⩽y⩽2\}$，是三角形，顶点 $(0,0)$，$(2,2)$，$(-2,2)$。
2. $z=2x-y$：$(0,0)\to 0$，$(2,2)\to 2$，$(-2,2)\to -6$。
3. 最小值 $-6$。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

曲线 $y=|x|$ 是以原点为顶点、开口向上的折线，与直线 $y=2$ 围成的封闭区域为 $\{(x,y)\mid |x|⩽y⩽2\},$ 即三角形，三个顶点分别为 $(0,0)$、$(2,2)$、$(-2,2)$。 目标函数 $z=2x-y$ 为线性函数，其最值必在顶点处取得，逐一代入： $(0,0):z=0;(2,2):z=4-2=2;(-2,2):z=-4-2=-6.$ 比较得最小值为 $-6$（在顶点 $(-2,2)$ 处取得）。 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划（可行域与目标函数最值）

核心方法：$y=|x|$ 与 $y=2$ 围成三角形，顶点 $(0,0)$，$(\pm 2,2)$；$z=2x-y$ 在 $(-2,2)$ 处取最小值 $2\times (-2)-2=-6$

避坑指南：可行域是”倒立”的三角形 $|x|⩽y⩽2$，三个顶点代入比较即可；目标函数 $z=2x-y$ 中 $x$ 的系数为正，最小值在最左的顶点 $(-2,2)$ 取得。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划求目标函数最值。

结论推广：画可行域定顶点；顶点代入比较。

方法推广：由 $y=|x|$ 与 $y=2$ 定三角形 → 求三顶点 → 代入 $z=2x-y$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-15 填-线性规划
• 2013-广东卷文-13 填-线性规划最值
• 2013-山东卷文-14 填-线性规划距离