2013-山东卷文-14 填-线性规划距离

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$M$ 为不等式组 $\{\begin{array}{l}2x+3y-6⩽0,\\ x+y-2⩾0,\\ y⩾0\end{array}$ 所表示的区域上一动点，则 $|OM|$ 的最小值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 区域顶点：$(2,0)$、$(3,0)$、$(0,2)$。
2. $O$ 到边界 $x+y-2=0$ 的距离 $\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，垂足 $(1,1)$ 满足全部约束。
3. 顶点距离 $\min \{2,3,2\}=2>\sqrt{2}$ → 最小值 $\sqrt{2}$。

✅【答案】

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$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

画出不等式组表示的区域：由 $x+y⩾2$、$2x+3y⩽6$、$y⩾0$ 围成的三角形，顶点为 $(2,0),(3,0),(0,2).$ 候选点比较：

• 顶点到原点的距离：$|(2,0)|=2$，$|(3,0)|=3$，$|(0,2)|=2$；
• 到边界直线 $x+y-2=0$ 的垂足：距离 $d=\frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2},$ 垂足为 $(1,1)$，检验：$2\times 1+3\times 1-6=-1⩽0$ 成立，$1+1-2=0⩾0$ 成立，$y=1⩾0$ 成立，垂足在区域内。 比较得最小距离为 $\sqrt{2}$，所以 $|OM|$ 的最小值是 $\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划与点到直线的距离

核心方法：区域为三角形，顶点 $(2,0)$、$(3,0)$、$(0,2)$；原点到边界 $x+y=2$ 的垂足 $(1,1)$ 在区域内，$|OM{|}_{\min }=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

避坑指南：最小距离不一定在顶点：先看边界垂足是否落在区域内——$(1,1)$ 满足 $2x+3y⩽6$、$x+y⩾2$（取等）、$y⩾0$，故可取；比较顶点距离 $\min \{2,3,2\}$ 可知垂足更近。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划区域与距离（北京/山东卷特色考法）。

结论推广：点 $(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$；区域上的点与定点距离的最小值在顶点或边界垂足处取得。

方法推广：两步：找候选（区域顶点 + 各边界上的垂足）→ 逐个验证可行并取最小。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-12 填-线性规划距离
• 2014-北京卷文-13 填-线性规划