2013-陕西卷文-17 填-参数方程抛物线焦点

本题导读

本题考查参数方程与普通方程的互化，以及抛物线的标准方程与焦点。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(文)） （选修 4-4 坐标系与参数方程）圆锥曲线 $\{\begin{array}{l}x=t^2,\\ y=2t,\end{array}$（$t$ 为参数）的焦点坐标是 　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $t=\frac{y}{2}$，代入 $x=t^2$ 得 $x=\frac{y^2}{4}$，即 $y^2=4x$。
2. $2p=4$，$p=2$，焦点 $\left(\frac{p}{2},0\right)=(1,0)$。

✅【答案】

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$(1,0)$

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=2t$ 得 $t=\frac{y}{2}$，代入 $x=t^2$ 消去参数 $t$： $x={\left(\frac{y}{2}\right)}^2=\frac{y^2}{4},$ 即 $y^2=4x.$ 这是顶点在原点、开口向右的抛物线，与标准方程 $y^2=2px$ 对照得 $2p=4$，即 $p=2$。 故焦点坐标为 $\left(\frac{p}{2},0\right)=(1,0).$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程化普通方程与抛物线焦点

核心方法：$y=2t\Rightarrow t=\frac{y}{2}$，代入 $x=t^2$：$x=\frac{y^2}{4}$，即 $y^2=4x$；$2p=4\Rightarrow p=2$，焦点 $\left(\frac{p}{2},0\right)=(1,0)$

避坑指南：消参是主路：由 $y=2t$ 解出 $t$ 再代入，得 $y^2=4x$（不是 $x^2=4y$——焦点在 $x$ 轴上）；抛物线 $y^2=2px$ 的焦点是 $\left(\frac{p}{2},0\right)$，别与 $x^2=2py$ 的 $(0,\frac{p}{2})$ 弄反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程化普通方程与抛物线的焦点。

结论推广：消参化普通方程；标准方程对照读数。

方法推广：消参得 $y^2=4x$ → 对照 $y^2=2px$ 得 $p=2$ → 写焦点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-09 填-抛物线焦点准线
• 2013-新课标I卷文-23 解-极坐标方程
• 2014-广东卷文-14 填-极坐标