2011-陕西卷文-15 填-三选一绝对值几何证明参数方程

本题导读

本题考查绝对值不等式的恒成立，以及圆幂定理与相似三角形。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(文)） （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A.（不等式选做题） 若不等式 $|x+1|+|x-2|⩾a$ 对任意 $x\in \mathbf{R}$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是$\underline{}$.

B.（几何证明选做题） 如图，$\angle B=\angle D$，$AE\perp BC$，$\angle ACD=90^{\circ }$，且 $AB=6$，$AC=4$，$AD=12$，则 $AE=$ $\underline{}$.

C.（坐标系与参数方程选做题） 直角坐标系 $xOy$ 中，以原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点 $A$，$B$ 分别在曲线 $C_1:\{\begin{array}{l}x=3+\cos \theta ,\\ y=\sin \theta \end{array}$（$\theta$ 为参数）和曲线 $C_2:\rho =1$ 上，则 $|AB|$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：A 用绝对值几何意义
2. 步骤2：B 用直角三角形中正弦定义
3. 步骤3：C 化直角坐标后用圆心距

✅【答案】

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A. $(-\infty ,3]$；B. $2$；C. $1$

✍【详细解析】

Abstract

A：$|x+1|+|x-2|$ 表示数轴上点 $x$ 到 $-1$ 与 $2$ 的距离之和，其最小值为 $|-1-2|=3$（当 $-1⩽x⩽2$ 时取到）。

恒成立等价于 $a$ 不大于该式的最小值，即 $a⩽3$，取值范围为 $(-\infty ,3]$。

B：在 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中 $\angle ACD=90^{\circ }$，$AD=12$ 为斜边。设 $\angle ADC=\theta$，则 $\sin \theta =\frac{AC}{AD}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。

由 $\angle B=\angle D$（即 $\angle ABC=\angle ADC$），得 $\sin \angle ABC=\frac{1}{3}$。

在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 中（$AE\perp BC$），$AE=AB\sin \angle ABC=6\times \frac{1}{3}=2$。

C：$C_1$ 的参数方程表示以 $(3,0)$ 为圆心、半径 $1$ 的圆；$C_2:\rho =1$ 表示以原点为圆心、半径 $1$ 的圆。

对任意 $A\in C_1$，$|OA|⩾3-1=2$；又 $|OB|=1$。由三角形三边关系 $|AB|⩾|OA|-|OB|⩾1$。

当 $A=(2,0)$（取 $\theta =\pi$）、$B=(1,0)$ 时等号成立，故 $|AB|$ 的最小值为 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值不等式的几何意义与恒成立；直角三角形中的正弦定义；参数方程与极坐标方程识别圆

核心方法：A 抓”距离之和的最小值”；B 用公共角把两个直角三角形串起来；C 用圆心距减两半径

避坑指南：A 中恒成立是”$a⩽$ 最小值”，别与”最小值大于等于 $a$“方向搞反；B 中 $\angle B=\angle D$ 是把 $\angle ADC$ 的正弦值搬到 $\angle ABC$ 的桥梁，$AD=12$ 是斜边别当成直角边；C 中两圆外离，最小距离是圆心距 $3$ 减去两个半径 $1+1$，误用”圆心距 $+$ 半径”会得 $5$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：A 与 2014-重庆卷理-16 同族；B 与 2013-陕西卷文-16 同族；C 与 2013-陕西卷文-17、2012-广东卷文-14 同族。

结论推广：推广：$|x-a|+|x-b|$ 的最小值恒为 $|a-b|$；两圆外离时圆上两点距离的最小值为圆心距减两半径；参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x_0+r\cos \theta \\ y=y_0+r\sin \theta \end{array}$ 即圆 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$。

方法推广：三选一题各模块有固定入口：绝对值题用几何意义；几何证明题抓公共角（或四点共圆）转移三角比；参数方程题先化为普通方程（或直接识别圆心半径），再用”圆心距 $-$ 两半径”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 17.07 圆幂定理
• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷理-16 填-绝对值不等式的恒成立问题
• 2013-陕西卷文-16 填-几何证明选讲
• 2013-陕西卷文-17 填-参数方程抛物线焦点