2014-上海卷文-14 填-向量与轨迹

本题导读

向量与轨迹的衔接题。$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}=\vec{0}$ 即 $A$ 为 $PQ$ 中点，把 $m$ 用 $P$ 的坐标表出，再由 $P$ 的活动范围得 $m$ 的范围。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(文)） 已知曲线 $C:x=-\sqrt{4-y^2}$，直线 $l:x=6$. 若对于点 $A(m,0)$，存在 $C$ 上的点 $P$ 和 $l$ 上的点 $Q$，使得 $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}=\vec{0}$，则 $m$ 的取值范围为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}=\vec{0}⟺A$ 是 $PQ$ 的中点。
2. 由中点公式 $Q=2A-P$，其横坐标 $x_Q=2m-x_P=6$。
3. 曲线 $C$ 是左半圆，$x_P\in [-2,0]$，于是 $m=\frac{6+x_P}{2}$。

✅【答案】

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$[2,3]$

✍【详细解析】

Abstract

曲线 $C:x=-\sqrt{4-y^2}$ 即圆 $x^2+y^2=4$ 的左半圆（含端点），其上点的横坐标 $x_P\in [-2,0]$.

由 $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}=\vec{0}$，知 $A$ 为线段 $PQ$ 的中点，故

$Q=2A-P⟹x_Q=2m-x_P,y_Q=-y_P.$

由 $Q$ 在直线 $x=6$ 上得 $2m-x_P=6$，即 $m=\frac{6+x_P}{2}$。由 $x_P\in [-2,0]$ 得

$m\in \left[\frac{6-2}{2},\frac{6+0}{2}\right]=[2,3].$

每个 $m\in [2,3]$ 对应的 $P$（$x_P=2m-6$）都在 $C$ 上，且 $Q=(6,-y_P)$ 在 $l$ 上，故取值范围为 $[2,3]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量的线性运算与中点条件；半圆的方程与横坐标范围。

2. 核心方法：“向量和为零 ⟺ 中点”，先把目标量表示成动点坐标的一次函数，再让动点跑遍曲线。

3. 避坑指南：曲线 $C$ 只是左半圆，$x_P$ 取不到正值，$m$ 的上界是 $3$ 而不是 $4$；端点 $x_P=-2,0$ 都能取到（半圆含端点），故区间闭。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 上海卷填空压轴区爱考”向量条件 + 轨迹范围”，本题是”相关点法”的简洁版本。

2. 结论推广: 若把直线改为 $x=2t$（$t$ 为参数），则 $m=\frac{2t+x_P}{2}$，范围随 $t$ 平移，方法不变。

3. 方法推广: “中点转化 + 参数表达 + 范围回代”是处理”存在性 + 范围”问题的通用三板斧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-10 单-向量模
• 2014-湖北卷文-22 解-轨迹分类