2012-上海卷文-12 填-向量数量积取值范围

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及参数法的取值范围。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 在矩形 $ABCD$ 中，边 $AB$、$AD$ 的长分别为 $2$、$1$. 若 $M$、$N$ 分别是 $BC$、$CD$ 上的点，且满足 $\frac{|\overrightarrow{BM}|}{|\overrightarrow{BC}|}=\frac{|\overrightarrow{CN}|}{|\overrightarrow{CD}|}$，则 $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AN}$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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设比值为 $t\in [0,1]$，$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AN}=4-3t\in [1,4]$。

✅【答案】

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$[1,4]$

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点、$AB$ 所在直线为 $x$ 轴建系，则 $B(2,0)$，$C(2,1)$，$D(0,1)$。

设 $\frac{|\overrightarrow{BM}|}{|\overrightarrow{BC}|}=\frac{|\overrightarrow{CN}|}{|\overrightarrow{CD}|}=t$（$0⩽t⩽1$），则 $M(2,t)$，$N(2-2t,1)$。

$\overrightarrow{AM}=(2,t)$，$\overrightarrow{AN}=(2-2t,1)$，数量积 $=2(2-2t)+t=4-3t$。

由 $t\in [0,1]$ 得数量积的取值范围是 $[1,4]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的坐标表示；数量积的坐标运算；含参数的取值范围

核心方法：设比值参数 → 坐标化 → 数量积化为参数的一次函数

避坑指南：$M$ 在 $BC$ 上、$N$ 在 $CD$ 上且 $CD=2$，故 $N$ 的横坐标是 $2-2t$ 而非 $2-t$；$t$ 能取到 $0$ 与 $1$（端点含于”边上”），区间为闭。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：矩形内动点向量数量积范围题，与 2015 年上海卷文第 13 题、2014 年上海卷文第 14 题同族。

结论推广：定线段上的动点用比值参数 $t$ 统一表达，数量积关于 $t$ 一次时最值在端点取得。

方法推广：向量范围问题三板斧：建系 → 参数化动点 → 化为目标函数看定义域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-13 填-向量的模
• 2014-上海卷文-14 填-向量与轨迹
• 2014-天津卷文-13 填-向量数量积