2014-上海卷文-18 单-方程组解的判定

本题导读

选择压轴。把 $P_{1}, P_{2}$ 在直线 $y = k x + 1$ 上的条件代入系数，算出方程组的系数行列式恒不为零，从而”总有唯一解”。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(文)）已知 $P_{1} (a_{1}, b_{1})$ 与 $P_{2} (a_{2}, b_{2})$ 是直线 $y = k x + 1$ （ $k$ 为常数）上两个不同的点，则关于 $x$ 和 $y$ 的方程组 ${a_{1} x + b_{1} y = 1, a_{2} x + b_{2} y = 1$ 的解的情况是()

A. 无论 $k, P_{1}, P_{2}$ 如何，总是无解

B. 无论 $k, P_{1}, P_{2}$ 如何，总有唯一解

C. 存在 $k, P_{1}, P_{2}$ ，使之恰有两解

D. 存在 $k, P_{1}, P_{2}$ ，使之有无穷多解

🔍【思路分析】

破题导航

二元一次方程组解的情况由系数行列式 $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ 是否为零决定。

由 $P_{i}$ 在直线上： $b_{i} = k a_{i} + 1$ 。

代入化简行列式，看它能否为零。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $P_{1}, P_{2}$ 在直线 $y = k x + 1$ 上，得 $b_{1} = k a_{1} + 1$ ， $b_{2} = k a_{2} + 1$ 。方程组的系数行列式

$D = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = a_{1} (k a_{2} + 1) - a_{2} (k a_{1} + 1) = a_{1} - a_{2} .$

因为 $P_{1} \neq = P_{2}$ 且它们都在斜率为 $k$ 的直线上，若 $a_{1} = a_{2}$ 则 $b_{1} = b_{2}$ ，两点重合，矛盾；故 $a_{1} \neq = a_{2}$ ，即 $D = a_{1} - a_{2} \neq = 0$ 。

系数行列式非零，方程组有且仅有唯一解，与 $k, P_{1}, P_{2}$ 的具体取值无关。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二元一次方程组解的判定（系数行列式）；点在直线上的代数表达。

核心方法：“点的坐标满足直线方程”这一条件是化简行列式的钥匙，代入后大量项相消。

避坑指南：两点不同 ⟹ 横坐标不同，这一步要写清理由（同在斜率存在的直线上，横坐标相同则纵坐标也相同）； $k$ 是常数不影响结论，但 $D$ 的表达式中 $k$ 的消去过程要展示。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 上海卷爱在选择题压轴放”代数结构判定”题，本题与理卷同题号位置的题目互为姊妹题。

结论推广: 若直线改为 $x = c$ （斜率不存在），则 $a_{1} = a_{2}$ ， $D = 0$ ，解的情况需另议 —— 条件中”斜率 $k$ 存在”是结论成立的前提。

方法推广: “把几何条件代数化 → 算行列式 → 按零与非零分类”是方程组解的判定问题的通用流程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

2014-上海卷理-17 单-二元一次方程组解判定

2015-上海卷文-05 填-增广矩阵

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