2014-上海卷文-23 解-数列不等式

本题导读

数列压轴。把 $\frac{1}{3}{a}_n⩽a_{n+1}⩽3a_n$ 这条”逐项倍数约束”翻译成关于待求量的不等式，第(3)问的关键是找出约束最紧的那一项。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $\frac{1}{3}{a}_n⩽a_{n+1}⩽3a_n$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$a_1=1$.

(1) 若 $a_2=2$，$a_3=x$，$a_4=9$，求 $x$ 的取值范围；

(2) 若 $\{a_n\}$ 是等比数列，且 $a_m=\frac{1}{1000}$，求正整数 $m$ 的最小值，以及 $m$ 取最小值时相应 $\{a_n\}$ 的公比；

(3) 若 $a_1,a_2,\cdots ,a_{100}$ 成等差数列，求 $a_1,a_2,\cdots ,a_{100}$ 的公差的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：对 $n=2,3$ 分别用两侧不等式夹住 $x$。
2. 第(2)问：等比时约束变为 $\frac{1}{3}⩽q⩽3$；$a_m=q^{m-1}=\frac{1}{1000}$，对 $q$ 的下界取对数解出 $m$。
3. 第(3)问：代入 $a_n=1+(n-1)d$，两侧不等式化为 $d$ 的线性不等式，注意 $n$ 的范围与”系数变号”。

✅【答案】

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(1) $x\in [3,6]$

(2) $m$ 的最小值为 $8$，相应公比 $q=10^{-\frac{3}{7}}$

(3) 公差 $d$ 的取值范围为 $\left[-\frac{2}{199},2\right]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $\frac{1}{3}{a}_2⩽a_3⩽3a_2$ 得 $\frac{2}{3}⩽x⩽6$；由 $\frac{1}{3}{a}_3⩽a_4⩽3a_3$ 得 $x⩾3$ 且 $x⩽27$。取交集得 $x\in [3,6]$。

(2) 设公比为 $q$。由 $a_1=1>0$ 且约束保证各项为正，$\frac{1}{3}⩽q⩽3$。由 $a_m=q^{m-1}=\frac{1}{1000}$ 得 $q=1000^{-\frac{1}{m-1}}=10^{-\frac{3}{m-1}}$。

由 $q⩾\frac{1}{3}$：$10^{-\frac{3}{m-1}}⩾\frac{1}{3}$，即 $10^{\frac{3}{m-1}}⩽3$，亦即 $\frac{3}{m-1}⩽\lg 3$，故

$m-1⩾\frac{3}{\lg 3}=\frac{3}{0.4771\cdots }\approx 6.29⟹m⩾\mathrm{7.29.}$

（等价地：$\lg q=-\frac{3}{m-1}⩾\lg \frac{1}{3}=-\lg 3$，即 $m-1⩾\frac{3}{\lg 3}$。）

又 $q⩽3$ 自动满足（$q<1$）。故 $m$ 的最小值为 $8$，此时 $q=10^{-\frac{3}{7}}$。

(3) 此时 $a_n=1+(n-1)d$（$n=1,\dots ,100$），约束对 $n=1,\dots ,99$ 成立。

左侧 $\frac{1}{3}{a}_n⩽a_{n+1}$：

$1+(n-1)d⩽3(1+nd)⟹d(3-2n)⩽2.$

当 $n=1$ 时给出 $d⩽2$；当 $n⩾2$ 时 $3-2n<0$，给出 $d⩾\frac{2}{3-2n}=-\frac{2}{2n-3}$，最紧的是 $n=2$ 的 $d⩾-2$。

右侧 $a_{n+1}⩽3a_n$：

$1+nd⩽3\left(1+(n-1)d\right)⟹d(2n+1)⩾-2⟹d⩾-\frac{2}{2n+1}.$

由于 $-\frac{2}{2n+1}$ 随 $n$ 增大而增大，最紧的是 $n=99$：$d⩾-\frac{2}{199}$。

综合两侧：$d⩾\max \left\{-2,-\frac{2}{199},-\frac{2}{3}\right\}=-\frac{2}{199}$，且 $d⩽2$。故

$d\in \left[-\frac{2}{199},2\right].$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列的逐项倍数约束；等比数列与对数运算；等差数列与含参不等式；最紧约束的定位。

2. 核心方法：“把逐项约束代入具体通项，化成关于参数的一次不等式族，再找最紧的一条”。

3. 避坑指南：① 第(3)问约束只对 $n=1,\dots ,99$ 成立（只有 100 项），别写成对所有正整数；② $d(3-2n)⩽2$ 在 $n⩾2$ 时除以负数要变号；③ 右侧约束 $d⩾-\frac{2}{2n+1}$ 的下界随 $n$ 增大而升高，最紧处在 $n=99$ 而不是 $n=1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 上海卷数列压轴不爱套模板，常以”逐项约束 + 参数范围”的形态出现，第(3)问的”最紧约束”思想与函数恒成立一脉相承。

2. 结论推广: 若把倍数约束改为 $\frac{1}{k}{a}_n⩽a_{n+1}⩽k{a}_n$，则第(2)问变为 $m-1⩾\frac{3}{\lg \sqrt[k]{3}}$ 型，第(3)问的界相应变为 $-\frac{k-1}{(k-1)n+k}$ 型，方法完全一致。

3. 方法推广: “逐项约束问题 = 不等式族 + 最紧项定位”，这与”恒成立问题取最值”是同一思想在数列上的投影。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结
• 19.05 数列放缩法路径选择与常用模型

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷文-18 解-数列求和
• 2014-大纲卷文-17 解-递推数列通项