2010-陕西卷理-09 单-绝对值不等式

本题导读

本题考查数列递增条件的充要性逻辑辨析，重点理解 $a_{n+1}>|a_n|$ 蕴含的绝对值不等式放缩关系。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(理)） 对于数列 $\{a_n\}$，“$a_{n+1}>|a_n|(n=1,2,\cdots )$”是“$\{a_n\}$ 为递增数列”的()

A. 必要不充分条件　　　　　　　　　　B. 充分不必要条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 验证充分性：由 $a_{n+1}>|a_n|$，根据绝对值性质 $|a_n|\ge a_n$，判断是否必有 $a_{n+1}>a_n$。
2. 验证必要性：若 $\{a_n\}$ 递增，构造反例判断是否必有 $a_{n+1}>|a_n|$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

充分性验证： 若对任意 $n\ge 1$，均有 $a_{n+1}>|a_n|$。 根据绝对值性质，对任意实数 $a_n$，都有 $|a_n|\ge a_n$。 因此： $a_{n+1}>|a_n|\ge a_n⟹a_{n+1}>a_n$ 即对任意 $n\ge 1$ 都有 $a_{n+1}>a_n$，数列 $\{a_n\}$ 必为递增数列。 充分性成立。

必要性验证： 若数列 $\{a_n\}$ 为递增数列。 构造反例：设数列为 $a_n=n-5$（即 $-4,-3,-2,-1,0,1,\cdots$）。 该数列显然单调递增。 但取 $n=1$ 时，$a_1=-4,a_2=-3$。 此时 $a_2=-3$，而 $|a_1|=|-4|=4$，此时 $a_2<|a_1|$（$-3<4$），命题 $a_{n+1}>|a_n|$ 不成立。 必要性不成立。

综上所述，“$a_{n+1}>|a_n|(n=1,2,\cdots )$”是“$\{a_n\}$ 为递增数列”的充分不必要条件。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分必要条件判断与单调数列定义。
2. 核心方法：

• 正向推导证充分性：借助不等式传递性 $a_{n+1}>|a_n|\ge a_n$；
• 反例法否定必要性：构造含负数项的递增数列。

3. 避坑指南：注意当 $a_n<0$ 时，递增数列（如 $-4\to -3$）不满足 $a_{n+1}>|a_n|$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查数列单调性定义与逻辑蕴含关系。
2. 结论推广：若 $a_n>0$ 恒成立，则 $a_{n+1}>|a_n|⟺a_{n+1}>a_n$；引入负数项后充分性仍成立，必要性失效。

🔗【关联脉络】

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