2014-上海卷理-11 填-集合中元素的特性

本题导读

本题考查集合相等条件的运用以及复数的运算。通过集合元素的互异性排除不合题意的情况，并利用复数平方关系构造方程求解。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） 已知互异的复数 $a,b$ 满足 $ab\ne 0$，集合 $\{a,b\}=\{a^2,b^2\}$，则 $a+b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解集合相等：两个集合相等，意味着它们的元素完全相同。由于集合具有互异性且 $a\ne b$，因此存在两种对应关系。
2. 分类讨论：
   • 情况一：$a=a^2$ 且 $b=b^2$。
   • 情况二：$a=b^2$ 且 $b=a^2$。
3. 验证与舍解：利用 $ab\ne 0$ 和 $a,b$ 互异这两个限制条件对求得的结果进行检验。
4. 求和计算：在符合条件的情况下，利用韦达定理或方程根的性质求出 $a+b$。

✅【答案】

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分类讨论 根据集合相等的定义，分以下两种情况讨论：

情况一：对应项相等 若 $\{\begin{array}{l}a=a^2\\ b=b^2\end{array}$ 由 $a=a^2$ 得 $a(a-1)=0$，因为 $ab\ne 0$，所以 $a=1$。 同理，由 $b=b^2$ 及 $ab\ne 0$ 得 $b=1$。 此时 $a=b=1$，这与题目中“互异的复数”（$a\ne b$）矛盾，故此情况不成立。

情况二：交叉项相等 若 $\{\begin{array}{l}a=b^2\\ b=a^2\end{array}$ 将 $b=a^2$ 代入 $a=b^2$ 中，得： $a=(a^2{)}^2⟹a=a^4$ $a(a^3-1)=0$ 因为 $ab\ne 0$，所以 $a\ne 0$，则： $a^3-1=0⟹(a-1)(a^2+a+1)=0$

• 如果 $a=1$，则 $b=1^2=1$，与 $a\ne b$ 矛盾，舍去。
• 因此必有 $a^2+a+1=0$。

第二步：求 $a+b$ 的值 在此情况下，$b=a^2$。 所以 $a+b=a+a^2$。 由方程 $a^2+a+1=0$ 直接可得： $a^2+a=-1$

故答案为 $-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合相等意味着元素一一对应；集合元素的互异性是排除干扰解的关键。

2. 核心方法：分类讨论思想。处理集合相等问题时，必须穷举所有可能的对应方式。

3. 避坑指南：很多考生容易忽略 $a\ne b$ 这个条件，从而在第一种情况或 $a=1$ 时产生困惑。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 韦达定理、一元二次方程的求根公式。

2. 结论推广: 本题中的 $a,b$ 实际上是单位圆上的三个三次方根中的两个虚根（即 $\omega$ 和 ${\omega }^2$）。

3. 方法推广: 涉及 $\{x,y,\dots \}=\{f(x),f(y),\dots \}$ 的题目，通常会转化为不动点或周期轨道的问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2026-新高考II卷-02 单-集合
• 2026-天津卷-01 单-集合
• 2026-北京卷-01 单-集合