2014-上海卷理-16 单-数量积的几何意义

本题导读

本题考查向量数量积的几何意义。通过将复杂的空间向量数量积转化为“模长乘以投影”的形式，利用图形的对称性与垂直关系，快速判断数量积是否为定值。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） 如图，四个棱长为 $1$ 的正方体排成一个正四棱柱，$AB$ 是一条侧棱，$P_i(i=1,2,\cdots ,8)$ 是上底面上其余的八个点，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A{P}_i}(i=1,2,\cdots ,8)$ 的不同值的个数为 ()

A. 1.　　　　　　　B. 2.　　　　　　　C. 4.　　　　　　　D. 8.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 回顾数量积公式：$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos \theta$。
2. 几何意义转化：数量积 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A{P}_i}$ 等于向量 $\overrightarrow{AB}$ 的模长 $|\overrightarrow{AB}|$ 乘以向量 $\overrightarrow{A{P}_i}$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 方向上的投影。
3. 分析投影：
   • 向量 $\overrightarrow{AB}$ 的方向是竖直向上的。
   • 所有点 $P_i$ 都在同一个平面上（上底面）。
   • 点 $A$ 位于下底面。
   • 考察点 $P_i$ 到直线 $AB$ 的投影点。
4. 得出结论：若所有投影长度相等且 $|\overrightarrow{AB}|$ 固定，则数量积为唯一值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用数量积的几何意义 根据向量数量积的定义： $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A{P}_i}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{A{P}_i}|\cos \angle BA{P}_i$ 其中，子表达式 $|\overrightarrow{A{P}_i}|\cos \angle BA{P}_i$ 的几何意义是向量 $\overrightarrow{A{P}_i}$ 在向量 $\overrightarrow{AB}$ 方向上的投影长度。

第二步：分析图形特征

1. 模长固定：已知每个正方体棱长为 $1$，则侧棱 $|\overrightarrow{AB}|=1$ 为定值。
2. 投影固定：
   • 由于 $AB$ 是侧棱，它垂直于上底面。
   • 设点 $P_i$ 在直线 $AB$ 上的投影为点 $H$。
   • 因为 $AB\perp$ 上底面，且所有 $P_i$ 都在上底面上，所以所有点 $P_i$ 在直线 $AB$ 方向上的投影点都是点 $B$。
   • 因此，对于任意 $i\in \{1,2,\cdots ,8\}$，向量 $\overrightarrow{A{P}_i}$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 上的投影长度均为线段 $AB$ 的长度，即投影 $=|\overrightarrow{AB}|=1$。

第三步：计算结果 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A{P}_i}=|\overrightarrow{AB}|\cdot (\text{投影})=1\times 1=1$ 由于对于所有的 $i$，计算结果均为 $1$，因此不同值的个数为 $1$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积的投影定义。只要两个向量中的一个固定，另一个向量的终点在垂直于固定向量的平面内运动，它们的数量积就保持不变。

2. 核心方法：投影法。在立体几何中处理数量积，寻找“垂面”往往比建立空间直角坐标系进行代数运算快得多。

3. 避坑指南：不要被 $P_i$ 点的数量（8个）所迷惑。虽然 $\overrightarrow{A{P}_i}$ 的模长和方向各不相同，但它们在垂直棱方向上的贡献是一致的。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 空间直线与平面垂直的性质、向量的分解。

2. 结论推广: 若直线 $l\perp$ 平面 $\alpha$，点 $A\in l$，点 $P\in \alpha$，向量 $\vec{v}$ 沿 $l$ 方向，则 $\vec{v}\cdot \overrightarrow{AP}$ 为定值。

3. 方法推广: 投影法。在立体几何中处理数量积，寻找“垂面”往往比建立空间直角坐标系进行代数运算快得多。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.01 平面向量基本概念
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2026-新高考II卷-03 单-数量积
• 2026-天津卷-14 填-数量积
• 2023-新高考I卷-03 单-数量积