2023-新高考I卷-03 单-数量积

本题导读

描述: 本题考查平面向量的线性运算与垂直关系。核心突破口在于利用向量垂直的充要条件（数量积为 0）建立关于参数 $\lambda ,\mu$ 的等式。题目既可以通过坐标代入计算，也可以利用数量积的运算律直接展开，考查了学生对向量代数运算的熟练度.

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）已知向量 $\vec{a}=(1,1)$， $\vec{b}=(1,-1)$．若 $(\vec{a}+\lambda \vec{b})\perp (\vec{a}+\mu \vec{b})$，则()

A. $\lambda +\mu =1$　　　　　B. $\lambda +\mu =-1$　　　　　C. $\lambda \mu =1$　　　　　D. $\lambda \mu =-1$

🔍【思路分析】

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1. 明确垂直的几何锁链：若两非零向量垂直，则它们的数量积（点积）精确归零，即 $\vec{m}\perp \vec{n}⟺\vec{m}\cdot \vec{n}=0$。
2. 多视角技术路径推演：

• 路径一：代数坐标运算法（通性通法）：先根据向量的数乘与加法规则求出两个线性组合复合向量 $\vec{a}+\lambda \vec{b}$ 和 $\vec{a}+\mu \vec{b}$ 的全新坐标，再套用数量积的坐标通式 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$ 列方程化简。
• 路径二：数量积分配律法（极致提速，推荐）：利用数量积的分配律直接将关系式 $(\vec{a}+\lambda \vec{b})\cdot (\vec{a}+\mu \vec{b})=0$ 双向拆网展开，代入基底向量的模方 ${\vec{a}}^2,{\vec{b}}^2$ 及交叉点积 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的值求解。

3. 特征捕捉：预计算发现 $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 1+1\times (-1)=0$，这意味着基底向量天生正交垂直，且 $|\vec{a}{|}^2=|\vec{b}{|}^2=2$。抓住这一隐性钢印，可以实现免坐标的快速求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：代数坐标运算法（分量化归通法）

第一步：计算复合向量的线性坐标表示 已知两个基准向量的坐标为： $\vec{a}=(1,1)$， $\vec{b}=(1,-1)$。 根据平面向量数乘与坐标加法的基本运算法则（横纵坐标各自归拢相加）： $\vec{a}+\lambda \vec{b}=(1,1)+\lambda (1,-1)=(1,1)+(\lambda ,-\lambda )=(1+\lambda ,1-\lambda )$ $\vec{a}+\mu \vec{b}=(1,1)+\mu (1,-1)=(1,1)+(\mu ,-\mu )=(1+\mu ,1-\mu )$

第二步：利用垂直充要条件建立代数方程 因为两个复合向量满足刚性垂直几何关系： $(\vec{a}+\lambda \vec{b})\perp (\vec{a}+\mu \vec{b})$， 根据平面向量数量积的坐标定理，对应横纵分量乘积之和必须严格归零： $(1+\lambda )(1+\mu )+(1-\lambda )(1-\mu )=0$

第三步：多项式双向展开并合并化简 我们对左侧的两个双项式乘积进行彻底展开： $(1+\lambda +\mu +\lambda \mu )+(1-\lambda -\mu +\lambda \mu )=0$ 一次项 $\lambda$ 与 $-\lambda$ 抵消， $\mu$ 与 $-\mu$ 抵消。即 $2+2\lambda \mu =0⟹2\lambda \mu =-2$ 两端同时除以 2，解得参数乘积： $\lambda \mu =-1$

方法二：数量积分配律法（正交分解化归，考场提速）

• 模的平方： ${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2=1^2+1^2=2$ ${\vec{b}}^2=|\vec{b}{|}^2=1^2+(-1{)}^2=2$
• 数量积： $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 1+1\times (-1)=1-1=0⟹\vec{a}\perp \vec{b}$

由于 $(\vec{a}+\lambda \vec{b})\cdot (\vec{a}+\mu \vec{b})=0$，我们直接套用多项式乘法分配律对向量点积进行整体拆分： ${\vec{a}}^2+\mu \vec{a}\cdot \vec{b}+\lambda \vec{b}\cdot \vec{a}+\lambda \mu {\vec{b}}^2=0$ 合并中间项，将其整理为： ${\vec{a}}^2+(\lambda +\mu )(\vec{a}\cdot \vec{b})+\lambda \mu {\vec{b}}^2=0$

此时，（ ${\vec{a}}^2=2,{\vec{b}}^2=2,\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ ）即： $2+(\lambda +\mu )\times 0+\lambda \mu \times 2=0$ $2+2\lambda \mu =0⟹\lambda \mu =-1$

故选：D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含参线性向量的坐标融合、向量垂直与点积归零的充要转化、数量积多项式分配律的运演。
2. 核心方法：正交基底分离法（方法二）、全分量坐标化轨法（方法一）。
3. 避坑指南：

• 负号多项式展开导致变号错配：在方法一中展开后半程 $(1-\lambda )(1-\mu )$ 时，很多粗心的考生容易把最后两负数相乘的交叉项错算成 $-\lambda \mu$。请时刻拉紧防护网： $-\lambda \times (-\mu )=+\lambda \mu$。如果在此处笔误，会算出 $\lambda +\mu =1$ 的伪解从而误选 A。
• 概念混淆：切记向量垂直是数量积等于 0（是一个纯有理孤立实数），绝对不是坐标交叉相乘相等。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材必修第二册第六章《平面向量及其应用》中平面向量数量积与坐标运算的复习拔高题。作为新高考 I 卷的前置选择题，承担着考查基础代数统筹、输送基本分的职能。
2. 结论推广：本题背后隐藏着一条高级的初等几何代数二级结论：若空间或平面两非零基底向量满足“模长相等且正交垂直”（即 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ 且 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ ），则它们的任意两层线性组合 $(\vec{a}+\lambda \vec{b})$ 与 $(\vec{a}+\mu \vec{b})$ 保持空间垂直关系的充要条件，有且仅有系数乘积满足固定常数关系 $\lambda \mu =-1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算