2014-上海卷理-19 解-棱锥的体积计算

本题导读

本题考查正三棱锥的结构特征及其表面展开图。重点在于通过展开图中各顶点的重合关系，推导出折叠后几何体的关键度量（如侧棱长、高），进而求解大三角形边长与棱锥体积。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） （本题满分 12 分） 底面边长为 $2$ 的正三棱锥 $P-ABC$，其表面展开图是三角形 $P_1{P}_2{P}_3$，如图.求 $△P_1{P}_2{P}_3$ 的各边长及此三棱锥的体积 $V$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解展开图逻辑：正三棱锥 $P-ABC$ 的底面是 $△ABC$。在展开图中，$△ABC$ 位于中心，侧面 $△P_{1}AB$、$△P_{2}BC$、$△P_{3}CA$ 分别绕底边展开。折叠时，$P_1,P_2,P_3$ 重合为顶点 $P$。
2. 确定边长关系：
   • 已知 $AB=BC=CA=2$。
   • 由于是正三棱锥，侧面均为全等的等腰三角形。观察展开图，$△P_1{P}_2{P}_3$ 的大边由侧棱组成。
   • 关键判定：由于 $P_1,B,P_2$ 共线（展开图特性），且侧面三角形与底面三角形的关联，需推导出侧棱长。
3. 计算体积：
   • 利用正四面体（或正三棱锥）体积公式 $V=\frac{1}{3}{S}_{底}\cdot h$。
   • 需先求出三棱锥的高 $h$。

✅【答案】

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正四面体；$4$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $△P_1{P}_2{P}_3$ 的边长 由题意可知，$△ABC$ 为底面，边长为 $2$，则 $△ABC$ 是等边三角形，$\angle ABC=60^{\circ }$。 在展开图中，$P_1,B,P_2$ 三点共线（因为侧面绕棱展开且拼合后无缝隙）。 由于 $P-ABC$ 是正三棱锥，各侧面全等。在 $△P_{1}AB$ 中，$P_{1}A=P_{1}B$。 由于展开图对称性及拼合要求： $\angle AB{P}_1=\angle CB{P}_2=\frac{180^{\circ }-60^{\circ }}{2}=60^{\circ }$。 由此推得 $△AB{P}_1$ 实际上是边长为 $2$ 的等边三角形。 因此，侧棱长 $PA=PB=PC=2$。 在该正三棱锥中，底面边长与侧棱长均为 $2$，故该几何体为正四面体。 在展开图中，$P_1{P}_2=P_{1}B+B{P}_2=2+2=4$。 同理，$P_2{P}_3=4,P_3{P}_1=4$。 所以，$△P_1{P}_2{P}_3$ 的各边长均为 $4$。

第二步：计算三棱锥的体积 $V$ 已知该三棱锥是棱长 $a=2$ 的正四面体。 底面积 $S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^2=\sqrt{3}$。 三棱锥的高 $h$： 顶点 $P$ 在底面的投影 $O$ 是 $△ABC$ 的中心。 $AO=\frac{2}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times 2=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。 根据勾股定理： $h=\sqrt{P{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{2^2-{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\sqrt{4-\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。 体积 $V$： $V=\frac{1}{3}\times S_{△ABC}\times h=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times \frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{18}}{9}=\frac{6\sqrt{2}}{9}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

(或者直接使用正四面体体积公式 $V=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3=\frac{\sqrt{2}}{12}\times 8=\frac{2\sqrt{2}}{3}$)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正三棱锥的结构特征、表面展开图与正四面体的体积计算。

2. 核心方法：由展开图推得侧棱长等于底面边长，判断为正四面体后用 $V=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$ 求体积。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正四面体的体积公式 $V=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$。

2. 结论推广: 底面边长与侧棱长相等的正三棱锥即正四面体，各面均为等边三角形。

3. 方法推广: 涉及棱锥展开图问题，抓住折叠后各顶点重合关系还原几何体是关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2023-新高考I卷-14 填-体积
• 2023-新高考II卷-14 填-体积
• 2013-江苏卷-08 填-柱体与锥体的体积计算