2023-新高考II卷-14 填-体积

本题导读

本题考查棱锥与棱台的结构特征，以及几何体的体积计算。

📌【题干】

Question

（2023年新高考II卷）底面边长为 4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2，高为 3 的正四棱锥，所得棱台的体积为 $\underline{}$

🔍【思路分析】

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1. 几何模型识别：截面平行于底面，说明截去的小棱锥与原大棱锥相似。
2. 利用相似比求高度：

• 相似比 $k=\frac{\text{小棱锥底面边长}}{\text{大棱锥底面边长}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
• 根据对应高之比等于相似比，求出大棱锥的高 $H$。

3. 计算策略选择：

• 策略一（体积差）：$V_{\text{台}}=V_{\text{大锥}}-V_{\text{小锥}}$。
• 策略二（公式法）：确认棱台的高 $h=H-h_{\text{小}}$，代入公式 $V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$。
• 策略三（体积比）：利用体积比等于相似比的立方（$1:8$），棱台占大锥体积的 $\frac{7}{8}$。

✅【答案】

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28

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求原大正四棱锥的高 $H$ 设大正四棱锥的高为 $H$，小正四棱锥的高为 $h_1=3$。 因为截面平行于底面，所以小棱锥与大棱锥相似。 其相似比 $k=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。 由对应高度之比等于相似比得：$\frac{h_1}{H}=\frac{3}{H}=\frac{1}{2}⟹H=6$。

第二步：计算各部分体积（体积差法）

• 大正四棱锥体积： 下底面积 $S_2=4\times 4=16$。 $V_{\text{大}}=\frac{1}{3}{S}_{2}H=\frac{1}{3}\times 16\times 6=32$。
• 小正四棱锥体积： 上底面积 $S_1=2\times 2=4$。 $V_{\text{小}}=\frac{1}{3}{S}_1{h}_1=\frac{1}{3}\times 4\times 3=4$。

第三步：计算棱台体积 $V_{\text{台}}=V_{\text{大}}-V_{\text{小}}=32-4=28$。

另解：公式法验证 棱台的高 $h=H-h_1=6-3=3$。 上底面积 $S_1=4$，下底面积 $S_2=16$。 代入公式 $V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$： $V=\frac{1}{3}\times 3\times (4+16+\sqrt{4\times 16})$ $V=20+8=28$。

故答案为：28。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正四棱台结构特征、相似几何体性质、棱台与棱锥体积计算。
2. 核心方法：割补法（体积差）、相似比法。 在立体几何的截断问题中，相似比 $k$ 是连接各度量指标的桥梁。长度比为 $k$，面积比为 $k^2$，体积比为 $k^3$。
3. 避坑指南：若直接使用棱台体积公式 $V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$ 计算，需注意棱台高为 $h=H-h_1=3$ 且准确计算 $\sqrt{S_1{S}_2}$。使用“大减小”的体积差法可有效规避公式记忆错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查空间几何体的截面与体积计算，几何背景为空间几何体的相似变换。
2. 结论推广：若小棱锥与大棱锥的相似比为 $k$，则体积比为 $k^3$。所得棱台的体积 $V_{\text{台}}$ 与大棱锥体积 $V_{\text{大}}$ 满足关系：$V_{\text{台}}=(1-k^3)V_{\text{大}}$。。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式
• 2021-浙江卷-04 单-三视图体积
• 1998-全国卷理-09