2014-上海卷理-21 解-二倍角公式

本题导读

本题是三角函数应用题。第一问要求在铅垂方向假设下，利用正切二倍角公式建立关于高度的不等式求最大值；第二问则是在实际偏差情况下，脱离直角三角形限制，利用正弦和余弦定理求解斜三角形的边长。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.

如图，某公司要在 $A、B$ 两地连线上的定点 $C$ 处建造广告牌 $CD$，其中 $D$ 为顶端，$AC$ 长 $35$ 米，$CB$ 长 $80$ 米.设点 $A、B$ 在同一水平面上，从 $A$ 和 $B$ 看 $D$ 的仰角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$.

(1) 设计中 $CD$ 是铅垂方向.若要求 $\alpha \ge 2\beta$，问 $CD$ 的长至多为多少（结果精确到 $0.01$ 米）？

(2) 施工完成后，$CD$ 与铅垂方向有偏差.现在实测得 $\alpha =38.12^{\circ }$，$\beta =18.45^{\circ }$，求 $CD$ 的长（结果精确到 $0.01$ 米）.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：建立不等式
   • 设 $CD=x$。在直角三角形 $△ACD$ 和 $△BCD$ 中，用 $x$ 表示 $\tan \alpha$ 和 $\tan \beta$。
   • 利用 $\alpha \ge 2\beta$ 且均为锐角，转化为 $\tan \alpha \ge \tan 2\beta$。
   • 代入二倍角公式 $\tan 2\beta =\frac{2\tan \beta }{1-{\tan }^2\beta }$，解关于 $x$ 的不等式。
2. 第二问：非直角三角形求解
   • 此时 $△ADB$ 是一个斜三角形。已知底边 $AB=AC+CB=115$。
   • 在 $△ADB$ 中，已知两底角 $\alpha ,\beta$，由内角和求出 $\angle ADB$。
   • 利用正弦定理求出侧边 $DB$ 的长。
   • 在 $△CDB$ 中，已知 $CB=80$，$DB$ 已求，且夹角为 $\beta$，利用余弦定理求出 $CD$ 的长。

✅【答案】

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第 (1) 小题：求 $CD$ 的最大长度；$28.28$；第 (2) 小题：求偏差后的 $CD$ 长度；正弦定理

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：求 $CD$ 的最大长度 设 $CD$ 的长度为 $x$ 米。 由图及 $CD\perp AB$ 知： $\tan \alpha =\frac{x}{35}$，$\tan \beta =\frac{x}{80}$。 由题意 $\frac{\pi }{2}>\alpha \ge 2\beta >0$，则： $\tan \alpha \ge \tan 2\beta$ $\tan \alpha \ge \frac{2\tan \beta }{1-{\tan }^2\beta }$ 代入 $x$ 表达式： $\frac{x}{35}\ge \frac{2\cdot \frac{x}{80}}{1-{\left(\frac{x}{80}\right)}^2}⟹\frac{x}{35}\ge \frac{160x}{6400-x^2}$ 由于 $x>0$，约去 $x$ 并交叉相乘： $6400-x^2\ge 35\times 160⟹6400-x^2\ge 5600$ $x^2\le 800⟹x\le \sqrt{800}=20\sqrt{2}$ 计算近似值：$20\sqrt{2}\approx 20\times 1.4142\approx 28.284$。 所以，$CD$ 的长至多为 $28.28$ 米。

第 (2) 小题：求偏差后的 $CD$ 长度 设 $DB=a$，$CD=m$。 在 $△ADB$ 中，$AB=35+80=115$ 米。 $\angle ADB=180^{\circ }-\alpha -\beta =180^{\circ }-38.12^{\circ }-18.45^{\circ }=123.43^{\circ }$。 根据正弦定理： $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{AB}{\sin \angle ADB}$ $a=\frac{115\sin 38.12^{\circ }}{\sin 123.43^{\circ }}\approx \frac{115\times 0.6173}{0.8346}\approx 85.06\text{ 米}$ 在 $△CDB$ 中，已知 $CB=80$，$DB=a\approx 85.06$，$\angle B=\beta =18.45^{\circ }$。 根据余弦定理： $m=\sqrt{C{B}^2+a^2-2\cdot CB\cdot a\cdot \cos \beta }$ $m=\sqrt{80^2+85.06^2-2\times 80\times 85.06\times \cos 18.45^{\circ }}$ $m=\sqrt{6400+7235.20-160\times 85.06\times 0.9486}$ $m\approx \sqrt{13635.20-12909.55}\approx \sqrt{725.65}\approx 26.93\text{ 米}$ 所以，$CD$ 的长约为 $26.93$ 米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正切二倍角公式、正弦定理与余弦定理在测量中的应用。

2. 核心方法：第一问用 $\tan \alpha \ge \tan 2\beta$ 建立不等式；第二问先用正弦定理再用余弦定理。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 仰角模型与解三角形的实际应用。

2. 结论推广: 铅垂高度在两端仰角约束下，可借助 $\tan 2\beta =\frac{2\tan \beta }{1-{\tan }^2\beta }$ 确定最大值。

3. 方法推广: 直角模型用锐角三角函数，非直角模型转正弦、余弦定理解斜三角形。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-06 单-二倍角公式
• 2013-四川卷理-13 填-二倍角公式
• 2013-江西卷理-11 填-倍角公式