2013-浙江卷理-06 单-二倍角公式

本题导读

本题考查二倍角公式，以及同角三角函数的基本关系。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 6. 已知 $\alpha \in \mathbf{R}$，$\sin \alpha +2\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{2}$，则 $\tan 2\alpha =($\quad\quad$)$

A. $\frac{4}{3}$　　　　　　B. $\frac{3}{4}$　　　　　　C. $-\frac{3}{4}$　　　　　　D. $-\frac{4}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 求 $\tan \alpha$：
   • 方法一（方程组法）：联立已知等式与 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$，解出 $\sin \alpha$ 与 $\cos \alpha$，进而得到 $\tan \alpha$。
   • 方法二（弦切互化）：将已知等式两边平方，构造齐次式，化为关于 $\tan \alpha$ 的一元二次方程。
2. 应用二倍角公式：利用公式 $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$ 计算最终结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $\tan \alpha$ 的值

将已知等式 $\sin \alpha +2\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{2}$ 两边平方： $(\sin \alpha +2\cos \alpha {)}^2={\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)}^2$ ${\sin }^2\alpha +4\sin \alpha \cos \alpha +4{\cos }^2\alpha =\frac{5}{2}$

利用 $\frac{5}{2}=\frac{5}{2}({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )$ 进行齐次化处理： ${\sin }^2\alpha +4\sin \alpha \cos \alpha +4{\cos }^2\alpha =\frac{5}{2}{\sin }^2\alpha +\frac{5}{2}{\cos }^2\alpha$

整理得： $\frac{3}{2}{\sin }^2\alpha -4\sin \alpha \cos \alpha -\frac{3}{2}{\cos }^2\alpha =0$ $3{\sin }^2\alpha -8\sin \alpha \cos \alpha -3{\cos }^2\alpha =0$

两边同除以 ${\cos }^2\alpha$（可知 $\cos \alpha \ne 0$）： $3{\tan }^2\alpha -8\tan \alpha -3=0$ 因式分解得：$(3\tan \alpha +1)(\tan \alpha -3)=0$ 解得：$\tan \alpha =-\frac{1}{3}$ 或 $\tan \alpha =3$。

第二步：计算 $\tan 2\alpha$

利用二倍角公式 $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$：

• 当 $\tan \alpha =-\frac{1}{3}$ 时： $\tan 2\alpha =\frac{2\times (-\frac{1}{3})}{1-(-\frac{1}{3}{)}^2}=\frac{-\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}=-\frac{3}{4}$

• 当 $\tan \alpha =3$ 时： $\tan 2\alpha =\frac{2\times 3}{1-3^2}=\frac{6}{1-9}=\frac{6}{-8}=-\frac{3}{4}$

由于两种情况计算出的 $\tan 2\alpha$ 结果一致。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数的基本关系（平方关系、商关系）；正切的二倍角公式。

核心方法：齐次式法是解决已知 $\sin \alpha$ 与 $\cos \alpha$ 线性组合求正切值的快捷手段。

避坑指南：在两边平方后，不要忘记利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 进行转化，否则会陷入求根公式的复杂计算中。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\varphi )$。

结论推广：若 $\tan \alpha$ 为方程 $a{\tan }^2\alpha +b\tan \alpha -a=0$ 的根（常数项与二次项系数互为相反数），则 $\tan 2\alpha$ 必定是一个定值。

方法推广：涉及 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 的二次齐次式求值，均可直接转化为关于 $\tan \alpha$ 的表达式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2026-新高考II卷-07 单-二倍角
• 2026-上海卷-03 填-二倍角
• 2014-湖南卷文-18 解-二面角