2014-北京卷文-11 填-三视图棱长

本题导读

还原为三棱锥 $P(0,0,2)$、$A(0,0,0)$、$B(2,0,0)$、$C(1,1,0)$，六条棱最长为 $PB=2\sqrt{2}$。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(文)） 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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还原为三棱锥 $P(0,0,2)$、$A(0,0,0)$、$B(2,0,0)$、$C(1,1,0)$，六条棱最长为 $PB=2\sqrt{2}$。

✅【答案】

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$2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由三视图（正视图高 2、宽 2；俯视图底面三角形；侧视图宽 1）还原：底面为直角三角形，顶点在底面一角的正上方。

建系取 $P(0,0,2)$，$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(1,1,0)$，与三视图一致。

六条棱长：

$PA=2$；$PB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$；$PC=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$；

$AB=2$；$AC=\sqrt{2}$；$BC=\sqrt{(2-1{)}^2+1}=\sqrt{2}$。

比较平方值：$8>6>4>2$，最长棱为 $PB=2\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图的还原（长对正、高平齐、宽相等）；空间两点间距离公式

2. 核心方法：还原出顶点坐标 → 逐棱计算 → 比较取最长

3. 避坑指南：①还原时”宽”来自俯视图（侧视图验证），别只看主视图把三维压成二维；②最长棱往往是斜棱，六条棱必须算全再比较——只算从顶点 $P$ 出发的三条会漏检（本题恰好最长棱在 $P$ 上，但不总有这种幸运）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三视图还原求棱长题，与 2014 年新课标Ⅰ理第 12 题、新课标Ⅱ理第 6 题同族。

2. 结论推广: 一般地，三视图给三个二维投影，还原时先由俯视图定底面形状，再由主视图定高度；斜棱长一律建系用距离公式。

3. 方法推广: 三视图计算题流程：还原几何体 → 建系写顶点坐标 → 计算所有目标线段 → 比较（比平方值更快）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.07 四面体的性质

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-12 单-三视图还原几何体
• 2014-新课标II卷理-06 单-由三视图还原几何体