2014-新课标II卷理-06 单-由三视图还原几何体

本题导读

本题考查通过三视图还原空间组合体并计算体积。解题核心在于准确识别组合体由两个同轴圆柱构成，并分别读取其半径与高度，最后通过体积差求出切削部分与原毛坯的比例。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 如图，网格纸上小正方形小格的边长为 $1$（表示 $1\text{cm}$），图中粗线画出的是某零件的三视图.该零件由一个底面半径为 $3\text{cm}$，高为 $6\text{cm}$ 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 ()

A. $\frac{17}{27}$　　　　　　B. $\frac{5}{9}$　　　　　　C. $\frac{10}{27}$　　　　　　D. $\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 还原几何体：由三视图（正视图和侧视图为矩形组合，俯视图为同心圆）可知，该零件是由两个同轴的圆柱组成的组合体。
2. 读取尺寸：
   • 大圆柱（右侧）：底面半径为 $3$（网格显示直径为 $6$），高为 $2$。
   • 小圆柱（左侧）：底面半径为 $2$（网格显示直径为 $4$），高为 $4$。
3. 计算体积：
   • 分别计算组合体体积 $V_{\text{零件}}$。
   • 计算原始毛坯圆柱体积 $V_{\text{毛坯}}$。
4. 求比例：切削掉的体积 $V_{\text{切}}=V_{\text{毛坯}}-V_{\text{零件}}$，最后求 $\frac{V_{\text{切}}}{V_{\text{毛坯}}}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算零件（组合体）的体积 零件由两个圆柱组成：


1. 下部（或右部）大圆柱：半径 $r_1=3$，高 $h_1=2$。 $V_1=\pi \cdot 3^2\times 2=18\pi$
2. 上部（或左部）小圆柱：半径 $r_2=2$，高 $h_2=4$。 $V_2=\pi \cdot 2^2\times 4=16\pi$ 零件总体积：$V_{\text{零件}}=18\pi +16\pi =34\pi$

第二步：计算原始毛坯的体积 已知毛坯为圆柱体，半径 $R=3$，高 $H=6$。 $V_{\text{毛坯}}=\pi \cdot 3^2\times 6=54\pi$

第三步：计算切削比例 切削掉部分的体积： $V_{\text{切}}=V_{\text{毛坯}}-V_{\text{零件}}=54\pi -34\pi =20\pi$ 所求比值为： $\frac{V_{\text{切}}}{V_{\text{毛坯}}}=\frac{20\pi }{54\pi }=\frac{10}{27}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆柱体积公式 $V=\pi r^{2}h$ 以及三视图的尺寸读取。 2. 易错提醒： - 俯视图中的圆代表底面，注意网格数出的是直径，半径需减半。 - 题目问的是“切削掉部分”与“原来”的比，不要误求成“零件”与“原来”的比。 3. 空间想象：此类题目通常将零件放入一个最大的圆柱或长方体中，观察“挖去”了哪些部分。

2. 核心方法：由三视图识别同轴两圆柱组合体，分别求体积后作差求切削比例。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 旋转体的三视图特征（俯视图含圆）、组合体的表面积计算（注意重叠部分的扣除）。

2. 结论推广: 切削比例 $\frac{V_{切}}{V_{毛坯}}=\frac{V_{毛坯}-V_{零件}}{V_{毛坯}}$。

3. 方法推广: 面对这类比例问题，如果两个几何体的底面半径相同，体积比往往可以直接转化为高度贡献的比例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-08 单-由三视图还原几何体
• 2013-陕西卷理-12 填-三视图还原
• 2013-辽宁卷理-13 填-三视图还原