2014-北京卷文-16 解-三角函数图象

本题导读

$T=\pi$，$y_0=3$，$x_0=\frac{7\pi }{6}$；(2) 换元 $u\in [-\frac{5\pi }{6},0]$，最大值 0、最小值 $-3$。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(文)） 函数 $f(x)=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的部分图象如图所示.

(1) 写出 $f(x)$ 的最小正周期及图中 $x_0$，$y_0$ 的值；

(2) 求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{12}\right]$ 上的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

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$T=\pi$，$y_0=3$，$x_0=\frac{7\pi }{6}$；(2) 换元 $u\in [-\frac{5\pi }{6},0]$，最大值 0、最小值 $-3$。

✅【答案】

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(1) $T=\pi$，$x_0=\frac{7\pi }{6}$，$y_0=3$ (2) 最大值 0，最小值 $-3$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

最大值为 $|A|=3$，由图 $y_0$ 是峰值纵坐标，故 $y_0=3$。

最大值点满足 $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$，即 $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$。图中 $x_0$ 与左侧相邻峰相距一个周期 $\pi$，故 $x_0=\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{7\pi }{6}$。

(2) 令 $u=2x+\frac{\pi }{6}$。$x\in \left[-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{12}\right]$ 时，$u\in \left[-\frac{5\pi }{6},0\right]$。

$\sin u$ 在 $\left[-\frac{5\pi }{6},0\right]$ 上：$u=-\frac{\pi }{2}\in$ 区间，最小值 $-1$；$u=0$ 时最大值 $0$。

所以 $f(x)$ 的最大值为 $3\times 0=0$，最小值为 $3\times (-1)=-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的周期公式；由图象读特殊点；闭区间上的三角最值

2. 核心方法：周期公式 → 相位方程定峰位 → 换元 $u=\omega x+\phi$ 按新区间取最值

3. 避坑指南：①$x_0$ 是图上相邻两个最大值点的横坐标，间隔恰为一个周期 $\pi$，由相位方程解出第一个峰 $\frac{\pi }{6}$ 后加 $\pi$；②(2) 换元后新区间 $\left[-\frac{5\pi }{6},0\right]$ 内含 $\sin$ 的最小值点 $-\frac{\pi }{2}$，最小值 $-3$ 来自区间内部而不是端点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角函数图象常规解答题，与 2015 年新课标Ⅰ文第 8 题（图象平移）、2014 年新课标Ⅱ理第 14 题同族。

2. 结论推广: 一般地，$y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的读图题抓三件事：周期、振幅、特殊点相位；闭区间最值一律换元 $u=\omega x+\phi$ 后对着 $\sin u$ 的图象取值。

3. 方法推广: 三角闭区间最值标准路线：换元 → 写新区间 → 标出区间内的极值点与端点 → 比较取最值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-08 单-三角函数图象
• 2014-新课标II卷理-14 填-两角和差公式