2014-新课标I卷理-06 单-三角函数的图象

本题导读

本题是一个几何动态规划问题。通过建立点 $M$ 到直线 $OP$ 距离的函数模型，利用三角函数的定义和二倍角公式进行化简，最终根据函数的周期性、对称性和最值判定其图象。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 如图，圆 $O$ 的半径为 $1$，$A$ 是圆上的定点，$P$ 是圆上的动点，角 $x$ 的始边为射线 $OA$，终边为射线 $OP$.过点 $P$ 作直线 $OA$ 的垂线，垂足为 $M$.将点 $M$ 到直线 $OP$ 的距离表示为 $x$ 的函数 $f(x)$，则 $y=f(x)$ 在 $[0,\pi ]$ 的图象大致为 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立几何模型：在直角坐标系中（以 $O$ 为原点，$OA$ 为 $x$ 轴），点 $P$ 的坐标为 $(\cos x,\sin x)$。
2. 确定点 $M$ 的坐标：$M$ 是 $P$ 在 $OA$ 上的投影，故 $M$ 的坐标为 $(\cos x,0)$，线段 $OM=|\cos x|$。
3. 推导距离函数：点 $M$ 到直线 $OP$ 的距离可以利用直角三角形 $OMH$（设 $H$ 为垂足）求解。在 Rt$△OMH$ 中，$OH$ 落在 $OP$ 上，$\angle MOH=x$。
4. 化简解析式：利用 $f(x)=OM\cdot \sin x$ 得到含绝对值的三角式，再利用二倍角公式化简。
5. 判定图象：根据化简后的振幅（最大值）和周期选取正确图象。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $OM$ 的长度 在圆 $O$ 中，半径 $OP=1$。过点 $P$ 作 $OA$ 的垂线交于 $M$。 根据三角函数定义，在直角坐标系中，点 $M$ 的横坐标即为点 $P$ 的横坐标。 所以 $OM=|\cos x|$。

第二步：求距离 $f(x)$ 设点 $M$ 到直线 $OP$ 的垂足为 $H$，则 $f(x)=MH$。 在 Rt$△OMH$ 中，$\angle MOH=x$（或其补角），斜边 $OM=|\cos x|$。 $f(x)=OM\cdot |\sin x|=|\cos x|\cdot |\sin x|$

第三步：化简解析式 利用倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$： $f(x)=|\sin x\cos x|=|\frac{1}{2}\sin 2x|=\frac{1}{2}|\sin 2x|$

第四步：分析函数性质 对于 $y=\frac{1}{2}|\sin 2x|,x\in [0,\pi ]$：

• 最大值：当 $\sin 2x=\pm 1$ 时，$y_{max}=\frac{1}{2}$。由此排除 A、B（其峰值为 1）。
• 零点：当 $2x=0,\pi ,2\pi$ 时，$x=0,\frac{\pi }{2},\pi$。这意味着在 $[0,\pi ]$ 区间内图象有两个“波峰”。
• 对比 C 和 D：C 选项的峰值为 $0.5$，且在 $\frac{\pi }{2}$ 处回到 0，符合函数特征。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数定义及其图象变换（翻折与缩放）。

2. 核心方法：坐标化与函数化。将几何长度转化为坐标表示的三角函数是此类动态问题的标准解法。

3. 避坑指南：注意 $OM$ 的长度必须加绝对值，因为当 $x\in (\frac{\pi }{2},\pi ]$ 时，$\cos x$ 为负，但长度为正。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 点到直线的距离公式、三角函数的周期性、对值变换 $y=|f(x)|$。

2. 结论推广: 若半径为 $R$，则 $f(x)=\frac{R}{2}|\sin 2x|$。

3. 方法推广: 涉及“动点距离”的图象题，若解析式难以直接写出，可取特殊位置（如 $x=0,\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}$）进行排除。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-08 单-三角函数图象
• 2014-北京卷文-16 解-三角函数图象
• 2013-大纲卷文-09 单-三角函数图象