2014-四川卷文-14 填-向量夹角相等

本题导读

$\vec{c}=m\vec{a}+\vec{b}$，由夹角相等列 $\frac{\vec{c}\cdot \vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{c}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ 解 $m$。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(文)） 平面向量 $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(4,2)$，$\vec{c}=m\vec{a}+\vec{b}$（$m\in \mathbf{R}$），且 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角等于 $\vec{c}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则 $m=$＿＿＿＿.

🔍【思路分析】

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坐标化后按夹角相等列式，注意两边除以不同的模。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

$\vec{c}=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2)$。 $\vec{c}\cdot \vec{a}=(m+4)+2(2m+2)=5m+8$，$\vec{c}\cdot \vec{b}=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20$。 由夹角相等得 $\frac{5m+8}{\sqrt{5}}=\frac{8m+20}{\sqrt{20}}$，即 $2(5m+8)=8m+20$，解得 $m=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的夹角与数量积

2. 核心方法：夹角相等 $\to$ 数量积除以各自模相等

3. 避坑指南：夹角相等要写成 $\frac{\vec{c}\cdot \vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{c}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$；漏除模会解出 $m=-4$ 的错误答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 平面向量的数量积与夹角公式。

2. 结论推广: $\cos \theta =\frac{\vec{c}\cdot \vec{a}}{|\vec{c}||\vec{a}|}$。

3. 方法推广: 涉及夹角的数量积等式，两边必须同除向量的模。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-06 单-向量数量积
• 2014-北京卷文-03 单-向量坐标运算