2013-浙江卷文-17 填-向量模最值

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量模的最值。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(文)） 设 ${\mathbf{e}}_1$，${\mathbf{e}}_2$ 为单位向量，非零向量 $\mathbf{b}=x{\mathbf{e}}_1+y{\mathbf{e}}_2$，$x$，$y\in \mathbf{R}$.若 ${\mathbf{e}}_1$，${\mathbf{e}}_2$ 的夹角为 $\frac{\pi }{6}$，则 $\frac{|x|}{|\mathbf{b}|}$ 的最大值等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $|\mathbf{b}{|}^2=x^2+y^2+2xy\cos \frac{\pi }{6}=x^2+y^2+\sqrt{3}xy$。
2. $x\ne 0$（否则比值为 0），令 $t=\frac{y}{x}$：$\frac{|x|}{|\mathbf{b}|}=\frac{1}{\sqrt{1+t^2+\sqrt{3}t}}$。
3. $1+t^2+\sqrt{3}t={\left(t+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}⩾\frac{1}{4}$，$t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时取等 → 最大值 $2$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

由数量积的定义（${\mathbf{e}}_1$，${\mathbf{e}}_2$ 为单位向量，夹角 $\frac{\pi }{6}$）： $|\mathbf{b}{|}^2=x^2|{\mathbf{e}}_1{|}^2+y^2|{\mathbf{e}}_2{|}^2+2xy{\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2=x^2+y^2+2xy\cos \frac{\pi }{6}=x^2+y^2+\sqrt{3}xy.$ 若 $x=0$，则 $\frac{|x|}{|\mathbf{b}|}=0$；下设 $x\ne 0$，令 $t=\frac{y}{x}$，则 $\frac{|x|}{|\mathbf{b}|}=\frac{|x|}{\sqrt{x^2\left(1+t^2+\sqrt{3}t\right)}}=\frac{1}{\sqrt{1+t^2+\sqrt{3}t}}.$ 配方的 $1+t^2+\sqrt{3}t={\left(t+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}⩾\frac{1}{4},$ 当 $t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$（即 $y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x\ne 0$）时取等，此时分母最小。 故 $\frac{|x|}{|\mathbf{b}|}⩽\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}}=2$，最大值为 $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：单位向量组合的模之比最值

核心方法：$|b{|}^2=x^2+y^2+2xy\cos \frac{\pi }{6}=x^2+y^2+\sqrt{3}xy$；令 $t=\frac{y}{x}$：$\frac{|x|}{|b|}=\frac{1}{\sqrt{1+t^2+\sqrt{3}t}}⩽\frac{1}{\sqrt{1/4}}=2$

避坑指南：模的展开用 $|x{\mathbf{e}}_1+y{\mathbf{e}}_2{|}^2=x^2+y^2+2xy\cos ⟨{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2⟩$，夹角是 $\frac{\pi }{6}$ 不是 $\frac{\pi }{3}$（$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，交叉项 $\sqrt{3}xy$）；比值型最值统一”除以 $|x|$“换元 $t=\frac{y}{x}$ 化为二次函数配方。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量（单位向量线性组合的模，浙江卷特色）。

结论推广：$|b{|}^2=x^2+y^2+\sqrt{3}xy$；$t=\frac{y}{x}$ 后 $1+t^2+\sqrt{3}t={\left(t+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}⩾\frac{1}{4}$。

方法推广：向量模比最值：平方展开（数量积定义）→ 同除 $|x{|}^2$ 换元 → 配方（或判别式）求最值，并检验取等条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.06 极化恒等式与矩形大法

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-15 填-向量垂直求参
• 2013-新课标II卷文-14 填-向量数量积
• 2014-四川卷文-14 填-向量夹角相等