2014-四川卷文-16 解-古典概型

本题导读

(1) 总数 $3^3=27$，满足 $a+b=c$ 的有 $3$ 组；(2) 用对立事件”三数全相同”。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(文)） 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 $1,2,3$，这三张卡片除标记的数字外完全相同. 随机有放回地抽取 $3$ 次，每次抽取 $1$ 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 $a,b,c$.

(1) 求”抽取的卡片上的数字满足 $a+b=c$“的概率；

(2) 求”抽取的卡片上的数字 $a,b,c$ 不完全相同”的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 列举 $a+b=c$：$(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3)$；(2) 对立事件为全相同。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $\frac{1}{9}$　(2) $\frac{8}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

有放回抽取 $3$ 次，基本事件总数 $n=3^3=27$。 (1) 满足 $a+b=c$ 的情形：$(1,1,2)$，$(1,2,3)$，$(2,1,3)$，共 $3$ 个， 故 $P=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}$。 (2) “不完全相同”的对立事件是”$a,b,c$ 全相同”，即 $(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)$，共 $3$ 个。 故 $P=1-\frac{3}{27}=\frac{8}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型（有放回抽取）

2. 核心方法：总数 $3^3=27$，列举有利事件数

3. 避坑指南：“有放回”意味着三次抽取相互独立且可以重复，总数是 $3^3$ 而非排列数 $A_3^3$；$a+b=c$ 只有 $3$ 组。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 古典概型与列举法计数。

2. 结论推广: $P=\frac{m}{n}$，$n$ 为等可能基本事件总数。

3. 方法推广: 有放回抽样问题先定总数（乘法原理），再按条件有序列举。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-15 解-古典概型
• 2015-四川卷文-17 解-古典概型