2014-四川卷理-21 解-分类讨论单调性

本题导读

本题是全卷的压轴题，综合性极强。第一问要求对参数 $a$ 进行精细的分类讨论以确定导函数的最小值；第二问通过已知零点构造逻辑链条，利用罗尔定理（或其逆向思维）判定导函数零点的个数，从而反推参数范围，对逻辑严密性有极高要求。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 已知函数 $f(x)=e^x-a{x}^2-bx-1$，其中 $a,b\in \mathbb{R}$，$e=2.71828\dots$ 为自然对数的底数.

(1) 设 $g(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数，求函数 $g(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最小值；

(2) 若 $f(1)=0$，函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内有零点，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：导函数的单调性与最值
   • 求出 $g(x)=f^{\prime }(x)=e^x-2ax-b$。
   • 对 $g(x)$ 再次求导得 $g^{\prime }(x)=e^x-2a$。
   • 关键在于判定 $g^{\prime }(x)$ 在 $[0,1]$ 上的正负。需对 $2a$ 与 $e^x$ 的值域 $[1,e]$ 关系进行讨论：
     • $2a\le 1$：$g(x)$ 单调递增。
     • $1<2a<e$：$g(x)$ 先减后增。
     • $2a\ge e$：$g(x)$ 单调递减。
2. 第二问：零点问题与参数范围
   • 已知 $f(0)=0,f(1)=0$，若 $(0,1)$ 内还有一个零点 $x_0$，则 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上至少有两个极值点（利用罗尔定理）。
   • 这意味着 $g(x)=f^{\prime }(x)$ 在 $(0,1)$ 内至少有两个零点。
   • 结合第一问的单调性，只有当 $g(x)$ 先减后增（即 $1/2<a<e/2$）且最小值小于 0 时才可能有两个零点。
   • 进一步利用 $f(1)=0$ 消除参数 $b$，建立关于 $a$ 的不等式组。

✅【答案】

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第 (1) 小题：求 $g(x)$ 的最小值；第 (2) 小题：求 $a$ 的范围；$(e-2,1)$

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：求 $g(x)$ 的最小值 $g(x)=f^{\prime }(x)=e^x-2ax-b$，则 $g^{\prime }(x)=e^x-2a$。 ① 当 $2a\le 1$，即 $a\le \frac{1}{2}$ 时： 对于 $x\in [0,1]$，$g^{\prime }(x)=e^x-2a\ge 1-2a\ge 0$。 故 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，$g(x{)}_{min}=g(0)=1-b$。 ② 当 $1<2a<e$，即 $\frac{1}{2}<a<\frac{e}{2}$ 时： 令 $g^{\prime }(x)=0$ 得 $x=\ln (2a)\in (0,1)$。 当 $x\in [0,\ln (2a))$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 单调递减； 当 $x\in (\ln (2a),1]$ 时，$g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 单调递增。 故 $g(x{)}_{min}=g(\ln (2a))=e^{\ln (2a)}-2a\ln (2a)-b=2a-2a\ln 2a-b$。 ③ 当 $2a\ge e$，即 $a\ge \frac{e}{2}$ 时： 对于 $x\in [0,1]$，$g^{\prime }(x)=e^x-2a\le e-2a\le 0$。 故 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减，$g(x{)}_{min}=g(1)=e-2a-b$。

第 (2) 小题：求 $a$ 的范围 由 $f(1)=e-a-b-1=0$ 得 $b=e-a-1$。 若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有零点 $x_0$，由 $f(0)=f(x_0)=f(1)=0$： 根据罗尔定理，$f^{\prime }(x)$ 在 $(0,x_0)$ 和 $(x_0,1)$ 内各至少有一个零点。 即 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 内至少有两个零点。 由第 (1) 问可知，$g(x)$ 若要有两个零点，其单调性必须是先减后增，故 $\frac{1}{2}<a<\frac{e}{2}$。 且需满足端点值大于 0，极小值小于 0：

1. $g(0)=1-b=1-(e-a-1)=a-e+2>0⟹a>e-2$。
2. $g(1)=e-2a-b=e-2a-(e-a-1)=1-a>0⟹a<1$。
3. 极小值 $g(\ln 2a)<0$。 综合前两点得 $e-2<a<1$。 （注：在此范围内，通过验证可得 $g(\ln 2a)<0$ 恒成立，因为此时 $g(x)$ 两个端点均正且存在极小值点，由于 $f(0)=f(1)=0$，若 $g(x)$ 在区间内无零点则 $f(x)$ 单调，矛盾）。 故 $a$ 的取值范围是 $(e-2,1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与函数单调性、最值、零点的联动。 2. 逻辑难点：第二问中如何从“$f(x)$ 有三个零点”推导出“$f^{\prime }(x)$ 必须有两个零点”。

2. 核心方法：对 $g^{\prime }(x)$ 与 $e^x$ 的关系分类讨论，用罗尔定理由零点反推参数

3. 避坑指南：在分类讨论时，临界点 $1/2$ 和 $e/2$ 必须包含在讨论范围内，不能遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 罗尔中值定理、凸函数性质、泰勒展开近似分析。

2. 结论推广: 若连续可导函数 $f(x)$ 有 $n$ 个零点，则其 $k$ 阶导函数 $f^{(k)}(x)$ 至少有 $n-k$ 个零点。

3. 方法推广: 零点个数问题通常转化为导函数最值与端点值的符号分析。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-10 单-单调性
• 2014-安徽卷文-20 解-导数分类讨论
• 2023-新高考II卷-06 单-导数单调性