2013-四川卷理-10 单-单调性

本题导读

本题考查函数的基本性质，以及单调性。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(理)） 设函数 $f(x)=\sqrt{e^x+x-a}$ ($a\in \mathbb{R}$，$e$ 为自然对数的底数).若曲线 $y=\sin x$ 上存在 $(x_0,y_0)$ 使得 $f(f(y_0))=y_0$，则 $a$ 的取值范围是()

A. $[1,e]$　　　B. $[e^{-1},1]$　　　C. $[1,1+e]$　　　D. $[e^{-1},e+1]$

🔍【思路分析】

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1. 分析 $y_0$ 的取值范围：
   • 点 $(x_0,y_0)$ 在曲线 $y=\sin x$ 上，由正弦函数性质可知 $y_0\in [-1,1]$。
2. 利用单调性简化复合方程：
   • 观察 $f(x)=\sqrt{e^x+x-a}$。在定义域内，$e^x+x-a$ 是增函数，平方根函数也是增函数，故 $f(x)$ 在其定义域上是 单调递增 的。
   • 关键性质：对于单调递增函数，$f(f(x))=x$ 与 $f(x)=x$ 是等价的。
   • 证明简述：若 $f(x)>x$，则 $f(f(x))>f(x)>x$；若 $f(x)<x$，则 $f(f(x))<f(x)<x$。故 $f(f(x))=x⟺f(x)=x$。
3. 转化方程并限定范围：
   • 问题转化为：方程 $f(y_0)=y_0$ 在 $y_0\in [-1,1]$ 上有解。
   • 代入解析式：$\sqrt{e^{y_0}+y_0-a}=y_0$。
   • 注意隐含条件：由根号性质知 $y_0\ge 0$，故解 $y_0$ 必须满足 $y_0\in [0,1]$。
4. 分离参数并求值域：
   • 两边平方：$e^{y_0}+y_0-a=y_0^2⟹a=e^{y_0}+y_0-y_0^2$。
   • 设新函数 $g(x)=e^x+x-x^2$，求该函数在 $x\in [0,1]$ 上的值域。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：方程等价转化 因为 $f(x)=\sqrt{e^x+x-a}$ 在定义域上单调递增， 所以 $f(f(y_0))=y_0⟺f(y_0)=y_0$。 即 $\sqrt{e^{y_0}+y_0-a}=y_0$。

第二步：确定变量范围 由于点 $(x_0,y_0)$ 在 $y=\sin x$ 上，则 $y_0\in [-1,1]$。 又因为根号下的值非负且根号结果等于 $y_0$，必须有 $y_0\ge 0$。 综合得 $y_0\in [0,1]$。

第三步：构造函数求 $a$ 的范围 由 $\sqrt{e^{y_0}+y_0-a}=y_0$ 得 $a=e^{y_0}+y_0-y_0^2$。 问题转化为：求函数 $g(x)=e^x+x-x^2$ 在 $x\in [0,1]$ 上的值域。 对 $g(x)$ 求导： $g^{\prime }(x)=e^x+1-2x$ 令 $h(x)=e^x+1-2x$，再次求导 $h^{\prime }(x)=e^x-2$。

• 当 $x\in [0,\ln 2)$ 时，$h^{\prime }(x)<0$，$h(x)$ 递减；
• 当 $x\in (\ln 2,1]$ 时，$h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 递增。 计算端点及极小值：$h(0)=e^0+1-0=2$，$h(1)=e+1-2=e-1\approx 1.718$。 发现 $h(x)=g^{\prime }(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最小值大于 0，即 $g^{\prime }(x)>0$ 恒成立。

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第四步：得出结论 因此 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增。

• $g(0)=e^0+0-0^2=1$
• $g(1)=e^1+1-1^2=e$ 所以 $a\in [1,e]$。

故正确答案为：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：增函数迭代方程的不动点特性；利用导数研究复合函数单调性。

核心方法：“等价转化”。这是处理 $f(f(x))=x$ 类型压轴题的万能钥匙。

避坑指南：- 必须通过平方根的性质将 $y_0$ 的范围由 $[-1,1]$ 缩小到 $[0,1]$，否则会多算出不存在的范围。 - 判定 $g^{\prime }(x)$ 的正负时，如果对 $e^x$ 的增长不敏感，建议通过二阶导确认一阶导的最小值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：巴拿赫不动点定理（Banach Fixed Point Theorem）的简化应用。

结论推广：若 $f(x)$ 减函数，则 $f(f(x))=x$ 的解不一定是不动点，可能存在“互为数值”的二周期轨道点。

方法推广：处理“存在性”问题，通常转化为“方程有解”，进而转化为“参数属于函数的值域”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-06 单-导数单调性
• 2014-新课标II卷文-11 单-函数单调性
• 2023-新高考I卷-04 单-复合函数单调性