2014-大纲卷文-16 填-圆切线夹角

本题导读

$\sin \frac{\theta }{2}=\frac{r}{|OP|}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\tan \frac{\theta }{2}=\frac{1}{2}$，夹角正切 $\tan \theta =\frac{4}{3}$。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(文)） 直线 $l_1$ 和 $l_2$ 是圆 $x^2+y^2=2$ 的两条切线，若 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点为 $(1,3)$，则 $l_1$ 与 $l_2$ 的夹角的正切值等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$\sin \frac{\theta }{2}=\frac{r}{|OP|}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\tan \frac{\theta }{2}=\frac{1}{2}$，夹角正切 $\tan \theta =\frac{4}{3}$。

✅【答案】

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$\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设交点 $P(1,3)$，圆心 $O(0,0)$，$|OP|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$，半径 $r=\sqrt{2}$。

切点 $T$ 处 $OT\perp PT$，$\mathrm{Rt}△OPT$ 中，$\angle OPT$（即 $OP$ 与切线的夹角）满足

$\sin \angle OPT=\frac{r}{|OP|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\tan \angle OPT=\frac{r}{\sqrt{|OP{|}^2-r^2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}=\frac{1}{2}$。

两条切线关于直线 $OP$ 对称，两切线的夹角 $\theta =2\angle OPT$：

$\tan \theta =\frac{2\tan \angle OPT}{1-{\tan }^2\angle OPT}=\frac{2\times \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的切线性质（切线垂直半径）；切线夹角

2. 核心方法：“半径、切线长、圆心距”直角三角形 + 二倍角公式

3. 避坑指南：①$\angle OPT$ 是”半角”，二倍角公式 $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$ 别漏分母的平方；②”夹角”取锐角，本题 $\tan \theta =\frac{4}{3}>0$ 恰为锐角正切。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆的切线夹角题（doc 考点定位：直线与圆），与 2014 年新课标Ⅱ理第 16 题（同题）、新课标Ⅱ文第 12 题同族。

2. 结论推广: 一般地，过圆外一点 $P$ 的两切线夹角的一半满足 $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{r}{|PO|}$；$|PO|$ 越大夹角越小。

3. 方法推广: 切线问题抓住”切线 ⊥ 半径”构成的直角三角形，几何量之间用勾股与三角函数互推。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-12 单-圆与45度角
• 2014-新课标II卷理-16 填-直线与圆