2014-新课标II卷文-12 单-圆与45度角

本题导读

过 $M$ 与 $MO$ 夹 $45^{\circ }$ 的直线到 $O$ 的距离 $=\frac{\sqrt{x_0^2+1}}{\sqrt{2}}\le 1$，得 $|x_0|\le 1$，选 A。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(文)） 设点 $M(x_0,1)$，若在圆 $O:x^2+y^2=1$ 上存在点 $N$，使得 $\angle OMN=45^{\circ }$，则 $x_0$ 的取值范围是()

A. $[-1,1]$　　　B. $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$　　　C. $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$　　　D. $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$

🔍【思路分析】

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过 $M$ 与 $MO$ 夹 $45^{\circ }$ 的直线到 $O$ 的距离 $=\frac{\sqrt{x_0^2+1}}{\sqrt{2}}\le 1$，得 $|x_0|\le 1$，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$\angle OMN$ 是直线 $MO$ 与直线 $MN$ 的夹角，“存在 $N$“等价于：过 $M$ 且与直线 $MO$ 成 $45^{\circ }$ 角的直线与圆 $O$ 有公共点。

设该直线为 $l$，$O$ 到 $l$ 的距离

$d=|OM|\cdot \sin 45^{\circ }=\sqrt{x_0^2+1}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{x_0^2+1}}{\sqrt{2}}$。

$l$ 与圆相交 $⟺d\le 1$，即 $x_0^2+1\le 2$，$x_0^2\le 1$，$-1\le x_0\le 1$。

故 $x_0$ 的取值范围是 $[-1,1]$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系（存在性问题）

2. 核心方法：存在性问题几何化：“过 $M$ 作与 $MO$ 成 $45^{\circ }$ 的直线与圆有公共点”

3. 避坑指南：$M$ 在直线 $y=1$ 上滑动，$|OM|\ge 1$ 恒成立（$M$ 不在圆内）；当 $x_0=0$ 时 $M(0,1)$ 在圆上，$\angle OMN$ 可为 $45^{\circ }$——别用”$M$ 必须在圆外”的直觉排除端点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆的存在性小题（doc 考点定位：圆的方程、直线与圆），2014 年新课标Ⅰ理第 20 题同卷（弦中点轨迹）。

2. 结论推广: 一般地，“圆上存在点 $N$ 使 $\angle OMN=\alpha$” $⟺$ 过 $M$ 与 $MO$ 成 $\alpha$ 角的直线到圆心距离 $\le$ 半径，即 $|OM|\sin \alpha \le r$。

3. 方法推广: 圆的存在性问题：把”存在点满足某角”翻译成”某方向的直线与圆相交”，用圆心距判别。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.03 点与圆的位置关系
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质
• 2015-新课标I卷文-20 解-直线与圆