2014-大纲卷理-09 单-双曲线定义与性质

本题导读

本题考查双曲线的几何性质。核心思路是利用双曲线的第一定义求出点 $A$ 的两个焦半径（用 $a$ 表示），并利用离心率建立 $a$ 与 $c$ 的比例关系，最后通过余弦定理在焦点三角形中求解余弦值。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） 已知双曲线 $C$ 的离心率为 $2$，焦点为 $F_1,F_2$，点 $A$ 在 $C$ 上，若 $|F_{1}A|=2|F_{2}A|$，则 $\cos \angle A{F}_2{F}_1=$ ()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{4}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立基本量关系：由离心率 $e=\frac{c}{a}=2$，可得 $c=2a$。

2. 利用双曲线定义：根据 $|F_{1}A|-|F_{2}A|=2a$（假设 $A$ 在右支）结合已知条件 $|F_{1}A|=2|F_{2}A|$，解出焦半径 $|F_{1}A|$ 和 $|F_{2}A|$ 关于 $a$ 的表达式。

3. 应用余弦定理：在 $△A{F}_1{F}_2$ 中，已知三边长（均为 $a$ 的倍数），利用余弦定理计算 $\cos \angle A{F}_2{F}_1$ 的值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：代数表示各边长

由已知离心率 $e=\frac{c}{a}=2$，得 $c=2a$。

则焦距 $|F_1{F}_2|=2c=4a$。

设点 $A$ 在双曲线右支上，根据双曲线定义：

$|F_{1}A|-|F_{2}A|=2a$

又已知 $|F_{1}A|=2|F_{2}A|$，代入上式得：

$2|F_{2}A|-|F_{2}A|=2a⟹|F_{2}A|=2a$。

从而 $|F_{1}A|=4a$。

第二步：在焦点三角形中使用余弦定理

在 $△A{F}_1{F}_2$ 中，三边长分别为：

$|F_1{F}_2|=4a$（对边为 $A$）

$|F_{2}A|=2a$（对边为 $F_1$）

$|F_{1}A|=4a$（对边为 $F_2$）

由余弦定理得：

$\cos \angle A{F}_2{F}_1=\frac{|F_{2}A{|}^2+|F_1{F}_2{|}^2-|F_{1}A{|}^2}{2|F_{2}A|\cdot |F_1{F}_2|}$

$\cos \angle A{F}_2{F}_1=\frac{(2a{)}^2+(4a{)}^2-(4a{)}^2}{2\cdot 2a\cdot 4a}$

$\cos \angle A{F}_2{F}_1=\frac{4a^2+16a^2-16a^2}{16a^2}=\frac{4a^2}{16a^2}=\frac{1}{4}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线定义 $||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a$。

2. 核心方法：“参数化”。将所有线段长度统一用 $a$（或 $c$）表示，在计算比值或角度时，$a$ 会被约掉。

3. 避坑指南：计算余弦定理时，要注意公式中的减数必须是目标角对应的对边的平方。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 双曲线的渐近线方程、第二定义（焦半径公式）。

2. 结论推广: 若改变比例关系 $|F_{1}A|=k|F_{2}A|$，其余弦值也会随之改变，但解题逻辑一致。

3. 方法推广: 涉及圆锥曲线上的点与焦点的三角形问题，定义与余弦定理是“黄金搭档”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-14 填-双曲线定义
• 2013-新课标I卷理-04 单-双曲线性质
• 2013-天津卷理-05 单-双曲线性质