2014-大纲卷理-16 填-二倍角公式

本题导读

本题考查复合三角函数的单调性。通过二倍角公式将函数统一为关于正弦函数的二次型，再利用换元法转化为二次函数的单调区间问题，关键在于确定对称轴与给定区间的位置关系。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） 若函数 $f(x)=\cos 2x+a\sin x$ 在区间 $(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2})$ 是减函数，则 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 统一函数名：利用二倍角公式 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$。

2. 换元简化：令 $t=\sin x$，将三角函数转化为关于 $t$ 的二次函数。注意随 $x$ 范围的变化，确定 $t$ 的取值范围。

3. 分析单调性：

   • 考察外层函数（二次函数）与内层函数（正弦函数）的单调性关系。

   • 正弦函数 $t=\sin x$ 在 $(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2})$ 上单调递增。

   • 根据“同增异减”原理，外层二次函数在相应的 $t$ 区间上必须单调递减。

4. 利用对称轴列式：结合二次函数开口方向，确定对称轴与区间端点的大小关系，解出 $a$。

✅【答案】

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$(-\infty ,2]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：公式转化与换元

$f(x)=\cos 2x+a\sin x=(1-2{\sin }^{2}x)+a\sin x=-2{\sin }^{2}x+a\sin x+1$。

令 $t=\sin x$。

由于 $x\in (\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2})$，且 $y=\sin x$ 在此区间单调递增，

所以 $t\in (\sin \frac{\pi }{6},\sin \frac{\pi }{2})$，即 $t\in (\frac{1}{2},1)$。

第二步：分析二次函数的单调性

记新函数为 $g(t)=-2t^2+at+1$，$t\in (\frac{1}{2},1)$。

因为内层函数 $t=\sin x$ 是增函数，要使复合函数 $f(x)$ 为减函数，外层函数 $g(t)$ 必须在 $(\frac{1}{2},1)$ 上单调递减。

第三步：利用图象确定 $a$ 的范围

二次函数 $g(t)=-2t^2+at+1$ 的开口向下。

其对称轴方程为 $t=-\frac{a}{2(-2)}=\frac{a}{4}$。

要使 $g(t)$ 在 $(\frac{1}{2},1)$ 上递减，对称轴必须位于区间左侧或与左端点重合。

即满足：

$\frac{a}{4}\le \frac{1}{2}$

解得 $a\le 2$。

最终答案： $(-\infty ,2]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合函数单调性法则（同增异减）；二次函数单调区间与对称轴的关系。

2. 核心方法：“变量替换”。将超越函数（三角函数）转化为代数函数（二次函数）处理，是解决此类问题的通法。

3. 避坑指南：容易忽略内层函数 $t=\sin x$ 的单调性。若内层函数是减函数，结论将截然相反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数的最值、恒成立问题（若题目改为“恒大于 $0$”）。

2. 结论推广: 若区间变为 $(-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{6})$，此时 $\sin x$ 仍为增函数，但 $t$ 的范围变为 $(-1,-\frac{1}{2})$，需重新讨论。

3. 方法推广: 涉及 $\sin x$ 与 $\cos 2x$ 或 ${\cos }^{2}x$ 的组合，通常都统一化为关于 $\sin x$ 的二次型。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-06 单-二倍角公式
• 2013-四川卷理-13 填-二倍角公式
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