2014-天津卷理-04 单-复合函数的单调性

本题导读

本题考查复合函数的单调性，以及对数函数的性质与定义域。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(理)） 函数 $f(x)={\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-4)$ 的单调递增区间是()

A. $(0,+\infty )$　　　　B. $(-\infty ,0)$　　　　C. $(2,+\infty )$　　　　D. $(-\infty ,-2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求函数的定义域：$x^2-4>0$。
2. 令 $u=x^2-4$，外层函数 $y={\log }_{\frac{1}{2}}u$ 在定义域内单调递减。
3. 根据“同增异减”原则，内层函数 $u=x^2-4$ 单调递减的区间即为复合函数的单调递增区间。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

定义域要求 $x^2-4>0$，解得 $x>2$ 或 $x<-2$。 内层函数 $u=x^2-4$ 的对称轴为 $x=0$。 在 $(-\infty ,-2)$ 上，$u=x^2-4$ 单调递减； 在 $(2,+\infty )$ 上，$u=x^2-4$ 单调递增。 因为外层函数 $y={\log }_{\frac{1}{2}}u$ 是减函数， 所以复合函数 $f(x)$ 的单调递增区间为内层函数单调递减的区间，即 $(-\infty ,-2)$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合函数单调性与对数函数定义域。

2. 核心方法：求定义域，由”同增异减”用内层单调减区间确定复合增区间。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复合函数”同增异减”法则。

2. 结论推广: 外层减、内层减时复合为增，故增区间为内层递减区间 $(-\infty ,-2)$。

3. 方法推广: 复合函数单调性先求定义域再按内外层单调性判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2023-新高考I卷-04 单-复合函数单调性
• 2014-新课标II卷文-11 单-函数单调性
• 2013-四川卷理-10 单-单调性