2014-天津卷理-11 填-等差数列的通项与前n项和

本题导读

本题考查等差数列的通项与前 n 项和，以及等比数列的性质。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(理)） 设 $\{a_n\}$ 是首项为 $a_1$，公差为 $-1$ 的等差数列，$S_n$ 为其前 $n$ 项和. 若 $S_1,S_2,S_4$ 成等比数列，则 $a_1$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用首项 $a_1$ 和公差 $d=-1$ 表示出 $S_1,S_2,S_4$。
2. 利用三个数成等比数列的性质（中间项的平方等于两边项的乘积）列出方程求解 $a_1$。

✅【答案】

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$-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

因为公差 $d=-1$， $S_1=a_1$； $S_2=2a_1+\frac{2\times (2-1)}{2}(-1)=2a_1-1$； $S_4=4a_1+\frac{4\times (4-1)}{2}(-1)=4a_1-6$。 因为 $S_1,S_2,S_4$ 成等比数列， 所以 $S_2^2=S_1{S}_4$。 即 $(2a_1-1{)}^2=a_1(4a_1-6)$。 展开并化简： $4a_1^2-4a_1+1=4a_1^2-6a_1$ $-4a_1+1=-6a_1$ $2a_1=-1⟹a_1=-\frac{1}{2}$。 故答案为 $-\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项、前 $n$ 项和与等比中项。

2. 核心方法：用 $a_1,d=-1$ 表示 $S_1,S_2,S_4$，由等比中项列方程解 $a_1$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等差数列前 $n$ 项和公式与等比中项。

2. 结论推广: $S_1,S_2,S_4$ 成等比时 $S_2^2=S_1{S}_4$。

3. 方法推广: 数列前 $n$ 项和成等比问题用基本量列方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和
• 2025-上海卷-03 填-等差数列前n项和
• 2013-新课标II卷理-16 填-等差数列前n项和