2025-上海卷-03 填-等差数列前n项和

本题导读

本题考查等差数列前 $n$ 项和的直接计算.通过已知首项、公差和项数这三个基本量，代入求和公式即可得出结果，是上海卷数列板块的基础考法.

📌【题干】

Question

（2025年上海卷）已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=-3$，公差 $d=2$，则该数列的前 6 项和为 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

本题已知等差数列的三个核心基本量：首项 $a_1=-3$, 公差 $d=2$, 项数 $n=6$.

1. 直接求和法：利用等差数列求和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$，直接代入数值.
2. 末项转化法：先通过通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 求出第 6 项 $a_6$，再利用公式 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ 计算. 这种方法类似于计算梯形的面积，逻辑清晰.

✅【答案】

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12

✍【详细解析】

Abstract

基本量直接代入法（推荐） 由等差数列前 $n$ 项和公式： $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 代入 $n=6,a_1=-3,d=2$： $S_6=6\times (-3)+\frac{6\times 5}{2}\times 2$ $S_6=-18+30=12$.

故填：12.

其他精彩解法

末项转化法

1. 求末项 $a_6$： $a_6=a_1+(6-1)d=-3+5\times 2=7$.

2. 利用“首尾相加”公式求和： $S_6=\frac{6\times (a_1+a_6)}{2}=\frac{6\times (-3+7)}{2}$ $S_6=3\times 4=12$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 等差中项性质：$a_1+a_6=a_2+a_5=a_3+a_4=4$,本题中 $S_6=3(a_1+a_6)=12$.

• 单调性：公差 $d=2>0$，故该数列为递增数列.

2. 核心方法：基本量法。数列问题的“万能钥匙”是将所有项及求和统一化为 $a_1$ 和 $d$（或 $a_1$ 和 $q$）.

• 公式选择习惯：

• 知 $a_1,d,n⟹$ 用 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$.

• 知 $a_1,a_n,n⟹$ 用 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$（几何直观上像梯形面积）.

3. 避坑指南：代入计算时，务必注意首项 $a_1=-3$ 的负号，以及 $\frac{n(n-1)}{2}$ 中项数的正确取值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广: 等差数列前 $n$ 项和 $S_n$ 是关于 $n$ 的二次函数（无常数项）：$S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$.

2. 方法的推广:

• 倒序相加法：这是等差数列求和公式推导的核心思想，也是处理某些具有对称性数列求和的常用技巧.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-15 填-等差数列待定系数
• 2008-北京卷文-07 单-等差数列偶数项子列
• 2008-天津卷文-04 单-等差数列基本量