2014-天津卷理-14 填-函数的零点与方程根的个数

本题导读

本题考查含绝对值函数的零点个数问题，以及分离参数后利用数形结合法研究方程根的个数。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)=|x^2+3x|,x\in \mathbf{R}$. 若方程 $f(x)-a|x-1|=0$ 恰有 $4$ 个互异的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 同解变形：$x=1$ 时 $f(1)=4\ne 0=a|x-1|$，故 $x=1$ 不是根。两边同除以 $|x-1|$，把方程化为 $a=\frac{|x^2+3x|}{|x-1|}$。
2. 构造函数：记 $g(x)=\left|\frac{x(x+3)}{x-1}\right|$，问题转化为直线 $y=a$ 与 $y=g(x)$ 的图象恰有 $4$ 个公共点。
3. 数形结合：先研究 $h(x)=\frac{x(x+3)}{x-1}$ 的单调性与极值，再把 $x$ 轴下方的部分翻折上去得到 $g(x)$，按区间清点解的个数。

✅【答案】

点击查看答案

$(0,1)\cup (9,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：排除 $x=1$ 并作同解变形 因为 $f(1)=|1+3|=4\ne 0=a|1-1|$，所以 $x=1$ 不是方程的根。两边同时除以 $|x-1|$： $a=\frac{|x^2+3x|}{|x-1|}=\left|\frac{x(x+3)}{x-1}\right|$

第二步：研究 $h(x)=\frac{x(x+3)}{x-1}$ 的图象 由除法得 $h(x)=x+4+\frac{4}{x-1}$（$x\ne 1$），则 $h^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}$ 令 $h^{\prime }(x)=0$ 得 $(x-1{)}^2=4$，即 $x=-1$ 或 $x=3$。

• 当 $x<-1$ 或 $x>3$ 时 $h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 单调递增；
• 当 $-1<x<1$ 或 $1<x<3$ 时 $h^{\prime }(x)<0$，$h(x)$ 单调递减。

所以 $h(x)$ 在 $x=-1$ 处取极大值 $h(-1)=1$，在 $x=3$ 处取极小值 $h(3)=9$；又 $h(-3)=h(0)=0$，$x=1$ 为竖直渐近线。

第三步：由 $y=a$ 与 $y=g(x)$ 的公共点个数定范围 把 $h(x)$ 图象在 $x$ 轴下方的部分翻折到上方，得 $g(x)=|h(x)|$。按区间清点 $g(x)=a$（$a>0$）的解：

• $(-\infty ,-3)$：$g$ 由 $+\infty$ 递减到 $0$，恒有 $1$ 个解；
• $(-3,-1)$：$g$ 由 $0$ 递增到 $1$，仅当 $0<a<1$ 时有 $1$ 个解；
• $(-1,1)$：$g$ 先在 $(-1,0)$ 由 $1$ 减到 $0$，再在 $(0,1)$ 由 $0$ 增到 $+\infty$，故 $0<a<1$ 时有 $2$ 个解，$a\ge 1$ 时只有 $1$ 个解；
• $(1,3)$：$g$ 由 $+\infty$ 递减到 $9$，仅当 $a>9$ 时有 $1$ 个解；
• $(3,+\infty )$：$g$ 由 $9$ 递增到 $+\infty$，仅当 $a>9$ 时有 $1$ 个解。

累加可知：$0<a<1$ 时共 $1+1+2=4$ 个解；$1<a<9$ 时共 $1+1=2$ 个解；$a>9$ 时共 $1+1+1+1=4$ 个解。而 $a=1$ 时共 $3$ 个解，$a=9$ 时共 $3$ 个解，均不符。

因此方程恰有 $4$ 个互异实根时，实数 $a$ 的取值范围为 $(0,1)\cup (9,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含绝对值函数的图象与方程根的个数问题，属“数形结合”的典型考法。

2. 核心方法：把含参方程化为 $a=g(x)$ 的形式，用水平直线 $y=a$ 去截函数图象，交点个数即根的个数；研究 $g(x)$ 时先化 $\frac{x(x+3)}{x-1}$ 为 $x+4+\frac{4}{x-1}$（分离常数）便于求导。

3. 避坑指南：$x=1$ 使分母为零，必须先行排除，否则会把渐近线处的“伪交点”算进去；另外极值点处的取值 $h(-1)=1$、$h(3)=9$ 对应 $3$ 个根，边界值不可并入答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于“含绝对值函数的图象与方程根”类问题，常与分段函数、导数研究单调性综合命题。

2. 结论推广: 若方程 $f(x)=a\phi (x)$ 中 $\phi (x)$ 有零点，先把该零点排除再分离参数，可避免增根；根的个数即 $y=a$ 与 $y=\frac{f(x)}{\phi (x)}$ 图象的交点个数。

3. 方法推广: 分离常数 $\frac{x(x+3)}{x-1}=x+4+\frac{4}{x-1}$ 是处理“分子次数不低于分母”的分式函数的标准手段；翻折变换 $y=|h(x)|$ 只把 $x$ 轴下方部分上翻，$x$ 轴上方的极值点位置不变。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-06 单-函数与方程
• 2026-新高考II卷-13 填-函数零点
• 2015-福建卷文-16 填-函数零点