2015-福建卷文-16 填-函数零点

本题导读

压轴填空。零点即方程的根，韦达定理给出 $a+b=p$、$ab=q$；再按”怎样排序才成等差/等比”分类，解出 $a,b$ 后收口 $p+q$。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(文)） 若 $a,b$ 是函数 $f(x)=x^2-px+q$（$p>0$，$q>0$）的两个不同的零点，且 $a,b,-2$ 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 $p+q$ 的值等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 韦达定理：$a+b=p>0$，$ab=q>0\Rightarrow a,b$ 同为正数。
2. 等差排序：$-2$ 最小，只能排末位，得 $b,a,-2$ 等差 $\Rightarrow 2a=b-2$。
3. 等比排序：中间项平方等于两端之积，只有 $-2$ 能作中间项 $\Rightarrow 4=ab$。
4. 联立解 $a,b$，回代 $p+q=(a+b)+ab$。

✅【答案】

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$9$

✍【详细解析】

Abstract

由韦达定理 $a+b=p>0$，$ab=q>0$，故 $a,b$ 同为正数，不妨设 $b⩾a>0$.

等差排序：三数 $b⩾a>0>-2$，成等差时只能按 $b,a,-2$ 排列，得

$2a=b+(-2)⟹b=2a+2.$

等比排序：等比数列中中间项的平方等于两端之积。若 $-2$ 作中间项，则 $(-2{)}^2=ab$，即 $ab=4$；若正数作中间项，则 $b^2=-2a<0$（舍）。

联立 $\{\begin{array}{l}b=2a+2,\\ ab=4,\end{array}$ 得 $a(2a+2)=4$，即 $a^2+a-2=0$，解得 $a=1$（$a=-2$ 舍），$b=4$.

验证：$1,4,-2$ 排成 $4,1,-2$ 为公差 $-3$ 的等差数列；排成 $1,-2,4$ 为公比 $-2$ 的等比数列，符合题意.

故 $p=a+b=5$，$q=ab=4$，$p+q=9$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数零点与方程的根；等差中项与等比中项；韦达定理。

2. 核心方法：“零点 → 韦达定理 → 排序分类 → 解出基本量”四步链。

3. 避坑指南：① $-2$ 在等差中只能排末位（两正一负），在等比中 $-2$ 必须作中间项（否则中间项平方为负），两个”只能”是突破口；② 解出后要回代验证排序确实可行。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“零点 + 数列性质”的交汇题是福建卷压轴填空的经典风格（2013 年福建理科第 20 题亦为函数零点与数列交汇）。

2. 结论推广: 若把 $-2$ 换成 $-1$，同法可得 $b=2a+1$、$ab=1\Rightarrow 2a^2+a-1=0\Rightarrow a=\frac{1}{2}$，$b=2$，$p+q=2.5+0.5=3$。

3. 方法推广: 数列与方程根交汇时，“适当排序”四个字就是分类讨论的指令：把所有可能的排列按约束筛到只剩一种。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2013年福建卷理-20