2014-天津卷理-18 解-椭圆定义

本题导读

本题考查椭圆的定义与标准方程、离心率及直线与圆的位置关系。核心在于数形结合与方程思想的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(理)） 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，右顶点为 $A$，上顶点为 $B$，已知 $|AB|=\frac{\sqrt{3}}{2}|F_1{F}_2|$.

(1) 求椭圆的离心率；

(2) 设 $P$ 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 $PB$ 为直径的圆经过点 $F_1$，经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与该圆相切. 求直线 $l$ 的斜率.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：用 $a,b,c$ 表示出 $|AB|$ 和 $|F_1{F}_2|$，结合已知条件列出齐次方程，求解离心率 $e=\frac{c}{a}$。
2. 第(2)问：利用圆的直径式方程或几何性质（圆心到切线的距离等于半径），结合椭圆方程与点 $P$ 的坐标求解直线斜率。

✅【答案】

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因此离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。；故直线 $l$ 的斜率为 $4\pm \sqrt{15}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意知右顶点 $A(a,0)$，上顶点 $B(0,b)$， 左焦点 $F_1(-c,0)$，右焦点 $F_2(c,0)$。 故 $|AB|=\sqrt{a^2+b^2}$，且 $|F_1{F}_2|=2c$。 因为 $b^2=a^2-c^2$，所以 $|AB|=\sqrt{a^2+(a^2-c^2)}=\sqrt{2a^2-c^2}$。 由已知 $|AB|=\frac{\sqrt{3}}{2}|F_1{F}_2|$，得： $\sqrt{2a^2-c^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}(2c)=\sqrt{3}c$。 两边平方： $2a^2-c^2=3c^2⟹2a^2=4c^2⟹a^2=2c^2$。 因此离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

(2) 由 $a^2=2c^2$ 可知 $b^2=a^2-c^2=c^2$，即 $a=\sqrt{2}c$，$b=c$。 椭圆方程为 $\frac{x^2}{2c^2}+\frac{y^2}{c^2}=1⟹x^2+2y^2=2c^2$。 上顶点 $B(0,c)$，左焦点 $F_1(-c,0)$。 设点 $P(x_0,y_0)$ 为椭圆上异于顶点的点，则 $x_0^2+2y_0^2=2c^2$。 以线段 $PB$ 为直径的圆经过点 $F_1$，意味着 $\overrightarrow{F_{1}P}\cdot \overrightarrow{F_{1}B}=0$（或 $\angle P{F}_{1}B=90^{\circ }$）。 $\overrightarrow{F_{1}P}=(x_0+c,y_0)$，$\overrightarrow{F_{1}B}=(c,c)$。 由 $\overrightarrow{F_{1}P}\cdot \overrightarrow{F_{1}B}=0$ 得： $c(x_0+c)+c{y}_0=0⟹x_0+y_0+c=0⟹x_0=-y_0-c$。 代入椭圆方程： $(-y_0-c{)}^2+2y_0^2=2c^2$ $y_0^2+2c{y}_0+c^2+2y_0^2=2c^2$ $3y_0^2+2c{y}_0-c^2=0$ 因式分解得：$(3y_0-c)(y_0+c)=0$。 解得 $y_0=\frac{c}{3}$ 或 $y_0=-c$（此时 $x_0=0$，为顶点，舍去）。 故 $y_0=\frac{c}{3}$，此时 $x_0=-\frac{4}{3}c$。 所以点 $P$ 的坐标为 $\left(-\frac{4}{3}c,\frac{c}{3}\right)$。 以 $PB$ 为直径的圆，其圆心 $M$ 为 $PB$ 的中点： $M\left(\frac{-\frac{4}{3}c+0}{2},\frac{\frac{c}{3}+c}{2}\right)=\left(-\frac{2}{3}c,\frac{2}{3}c\right)$。 半径 $R=\frac{1}{2}|PB|=\frac{1}{2}\sqrt{{\left(0-\left(-\frac{4}{3}c\right)\right)}^2+{\left(c-\frac{c}{3}\right)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{9}{c}^2+\frac{4}{9}{c}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{20}{9}{c}^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}c$。 经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与该圆相切，设直线方程为 $y=kx$，即 $kx-y=0$。 由圆心到直线的距离等于半径： $\frac{|k\left(-\frac{2}{3}c\right)-\frac{2}{3}c|}{\sqrt{k^2+(-1{)}^2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}c$ 两边约去 $c$ 并化简： $\frac{|-\frac{2}{3}k-\frac{2}{3}|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{\sqrt{5}}{3}⟹\frac{2|k+1|}{3\sqrt{k^2+1}}=\frac{\sqrt{5}}{3}⟹2|k+1|=\sqrt{5}\sqrt{k^2+1}$。 两边平方： $4(k^2+2k+1)=5(k^2+1)$ $4k^2+8k+4=5k^2+5$ $k^2-8k+1=0$。 由求根公式解得 $k=4\pm \sqrt{15}$。 故直线 $l$ 的斜率为 $4\pm \sqrt{15}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆离心率与直线与圆相切。

2. 核心方法：用 $a,b,c$ 列齐次方程求 $e$；用直径圆与切线条件求斜率。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 椭圆基本量关系与圆的切线。

2. 结论推广: $|AB|=\frac{\sqrt{3}}{2}|F_1{F}_2|$ 时 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

3. 方法推广: 离心率问题列 $a,b,c$ 齐次方程；切线问题用圆心到直线距离。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-14 填-椭圆定义
• 2013-新课标I卷理-20 解-椭圆定义
• 2013-四川卷理-20 解-椭圆定义