2013-四川卷理-20 解-椭圆定义

本题导读

本题考查椭圆。核心在于待定系数法、设而不求法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(理)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的两个焦点分别为 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$，且椭圆 $C$ 经过点 $P(\frac{4}{3},\frac{1}{3})$.

(1)求椭圆 $C$ 的离心率；

(2)设过点 $A(0,2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M,N$ 两点，点 $Q$ 是线段 $MN$ 上的点，且 $\frac{2}{|AQ{|}^2}=\frac{1}{|AM{|}^2}+\frac{1}{|AN{|}^2}$，求点 $Q$ 的轨迹方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（离心率）：
   • 由焦点坐标知 $c=1$。
   • 利用椭圆定义 $2a=|P{F}_1|+|P{F}_2|$，代入点 $P$ 的坐标计算出 $a$。
   • 离心率 $e=\frac{c}{a}$。
2. 第二问（轨迹方程）：
   • 求椭圆方程：根据第一问求出的 $a,c$，利用 $b^2=a^2-c^2$ 得到方程。
   • 参数化直线：设直线 $l:y=kx+2$（需讨论斜率不存在的情况）。
   • 转化长度关系：由 $A,Q,M,N$ 共线，设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),Q(x,y)$。利用 $|AM|=\sqrt{1+k^2}|x_1|$（注意 $A$ 点横坐标为 0），将题目给出的长度关系转化为关于横坐标 $x,x_1,x_2$ 的代数式：$\frac{2}{x^2}=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}$。
   • 联立求解：将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理表达出 $x_1+x_2$ 和 $x_1{x}_2$，代入上述关系式消去参数 $k$。
   • 确定范围：考虑直线与椭圆必须有交点（$\Delta >0$）以及点 $Q$ 在椭圆内的位置约束。

✅【答案】

点击查看答案

范围讨论

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 由椭圆定义知： $2a=|P{F}_1|+|P{F}_2|=\sqrt{(\frac{4}{3}+1{)}^2+(\frac{1}{3}{)}^2}+\sqrt{(\frac{4}{3}-1{)}^2+(\frac{1}{3}{)}^2}$ $2a=\sqrt{\frac{49}{9}+\frac{1}{9}}+\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{50}{9}}+\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{5\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}$。 所以 $a=\sqrt{2}$。 又已知焦点为 $(\pm 1,0)$，故 $c=1$。 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

（Ⅱ）解： 由（Ⅰ）得 $b^2=a^2-c^2=2-1=1$。椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$。 设点 $Q$ 的坐标为 $(x,y)$。 (1) 当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，直线 $l$ 方程为 $x=0$。与椭圆交于 $(0,1)$ 和 $(0,-1)$。 代入关系式计算得点 $Q$ 坐标为 $(0,2-\frac{3\sqrt{5}}{5})$。

(2) 当直线 $l$ 与 $x$ 轴不垂直时，设直线 $l:y=kx+2$。 设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$。由于 $A(0,2)$ 在直线上，则： $|AM{|}^2=x_1^2+(y_1-2{)}^2=(1+k^2)x_1^2$ $|AN{|}^2=(1+k^2)x_2^2$ $|AQ{|}^2=(1+k^2)x^2$ 代入 $\frac{2}{|AQ{|}^2}=\frac{1}{|AM{|}^2}+\frac{1}{|AN{|}^2}$ 得： $\frac{2}{x^2}=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1{x}_2{)}^2}=\frac{(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2}{(x_1{x}_2{)}^2}$ —— ①

联立直线与椭圆方程： $\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ x^2+2y^2=2\end{array}⟹(2k^2+1)x^2+8kx+6=0$ —— ② 由 $\Delta =(8k{)}^2-4(2k^2+1)\cdot 6>0$ 得 $k^2>\frac{3}{2}$。 由韦达定理：$x_1+x_2=-\frac{8k}{2k^2+1},x_1{x}_2=\frac{6}{2k^2+1}$。 代入 ① 式整理得： $x^2=\frac{18}{10k^2-3}$ —— ③ 因为点 $Q(x,y)$ 在直线 $y=kx+2$ 上，所以 $k=\frac{y-2}{x}$。 代入 ③ 整理得：$10(y-2{)}^2-3x^2=18$。

范围讨论： 由 $k^2>\frac{3}{2}$ 及 ③ 式可知 $0<x^2<\frac{3}{2}$，即 $x\in (-\frac{\sqrt{6}}{2},0)\cup (0,\frac{\sqrt{6}}{2})$。 结合 $y\in (-1,1)$ 及轨迹方程性质，最终轨迹方程为： $10(y-2{)}^2-3x^2=18$，其中 $x\in (-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2})$，$y\in (\frac{1}{2},2-\frac{3\sqrt{5}}{5}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的定义与几何性质；直线与椭圆相交的弦长及点位置关系。

核心方法：“几何关系代数化”。将 $AM$ 等长度利用直线斜率转化为横坐标之差（或相对于定点的横坐标），是解析几何处理共线比例问题的常用技巧。

避坑指南：- 必须讨论直线斜率不存在的情况。 - 轨迹方程必须注明自变量的取值范围，否则不能得满分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极点极线背景（本题 $Q$ 点轨迹与 $A$ 点关于椭圆的极线有深层联系）。

结论推广：本题中长度关系的倒数平方和实质上与直线的调和分割有关。

方法推广：“几何关系代数化”。将 $AM$ 等长度利用直线斜率转化为横坐标之差（或相对于定点的横坐标），是解析几何处理共线比例问题的常用技巧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-05 单-椭圆
• 2015-新课标II卷文-20 解-椭圆
• 2015-陕西卷文-20 解-椭圆定值