2014-安徽卷文-05 单-幂指对比较

本题导读

$a$ 与 $1,2$ 比、$b$ 与 $2$ 比、$c$ 与 $1$ 比，分档后直接排序。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(文)） 设 $a={\log }_{3}7$，$b=2^{1.1}$，$c=0.8^{3.1}$，则()

A. $b<a<c$　　　　　B. $c<a<b$　　　　　C. $c<b<a$　　　　　D. $a<c<b$

🔍【思路分析】

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三个数分别与 1、2 比较后即可排序。

✅【答案】

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（B）$c<a<b$

✍【详细解析】

Abstract

$3^1<7<3^2$，故 $1<a={\log }_{3}7<2$；$0<0.8<1$，故 $c=0.8^{3.1}<0.8^0=1$；$b=2^{1.1}>2^1=2$。因此 $c<1<a<2<b$，即 $c<a<b$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指、对数式大小比较

2. 核心方法：中间量 1、2 分档

3. 避坑指南：别试图换底硬算；$0.8^{3.1}<1$、$2^{1.1}>2$ 这两步是分档关键，$a={\log }_{3}7$ 介于 1 与 2 之间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 比较大小常规题：底数指数分居两侧时，借助 0、1、2 等中间量分档最稳。

2. 结论推广: 推广：${\log }_{a}b$ 与 $n$ 比较等价于 $b$ 与 $a^n$ 比较。

3. 方法推广: 比较大小通用路线：同底化一 → 借中间量 → 得全序。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷理-02 单-充分条件与必要条件
• 2014-山东卷理-02 单-集合交集